本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
重心の求め方
密度$\rho(x,y)$の物体$D$の重心$(\ox,\oy)$は，
\begin{align}
M &= \iint_{D}\rho(x,y)dxdy
\end{align}
M &= \iint_{D}\rho(x,y)dxdy
\end{align}
のもとで
\begin{align}
\ox = \frac{1}{M}\iint\rho(x,y)x~dxdy,\quad
\oy = \frac{1}{M}\iint\rho(x,y)y~dxdy
\end{align}
\ox = \frac{1}{M}\iint\rho(x,y)x~dxdy,\quad
\oy = \frac{1}{M}\iint\rho(x,y)y~dxdy
\end{align}
と定義される。特に，$\rho(x,y)=1$の一様密度の場合は，領域$D$の面積を$S$とおくと
\begin{align}
\ox = \frac{1}{S}\iint_{D} x~dxdy,\quad
\oy = \frac{1}{S}\iint_{D} y~dxdy
\end{align}
\ox = \frac{1}{S}\iint_{D} x~dxdy,\quad
\oy = \frac{1}{S}\iint_{D} y~dxdy
\end{align}
と定義される。
例題
平面上の密度が一様な半円
\begin{align}
\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq a^{2},~y\geq 0\}
\end{align}
\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq a^{2},~y\geq 0\}
\end{align}
の重心の座標を求めよ。
解答
対称性より$\ox=0$となります。$\oy$については，$S=\pi a^{2}/2$および極座標変換により，
\begin{align}
\oy
&= \frac{2}{\pi a^{2}}\int_{0}^{\pi}\!\!\!\int_{0}^{a}r\sin\theta\,rdrd\theta
= \frac{4a}{3\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta
= \frac{4a}{3\pi}
\end{align}
\oy
&= \frac{2}{\pi a^{2}}\int_{0}^{\pi}\!\!\!\int_{0}^{a}r\sin\theta\,rdrd\theta
= \frac{4a}{3\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta
= \frac{4a}{3\pi}
\end{align}
となります。
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