【数検1級対策】重心の求め方

2024年7月20日

本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

重心の求め方

密度 $ρ (x, y)$ の物体 $D$ の重心 $(\overset{―}{x}, \overset{―}{y})$ は，

\begin{aligned} (1) & M & = \iint_{D} ρ (x, y) d x d y \end{aligned}

のもとで

\begin{array}{r} (2) & \overset{―}{x} = \frac{1}{M} \iint ρ (x, y) x d x d y, \overset{―}{y} = \frac{1}{M} \iint ρ (x, y) y d x d y \end{array}

と定義される。特に， $ρ (x, y) = 1$ の一様密度の場合は，領域 $D$ の面積を $S$ とおくと

\begin{array}{r} (3) & \overset{―}{x} = \frac{1}{S} \iint_{D} x d x d y, \overset{―}{y} = \frac{1}{S} \iint_{D} y d x d y \end{array}

と定義される。

平面上の密度が一様な半円

\begin{array}{r} (4) & {(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq a^{2}, y \geq 0} \end{array}

の重心の座標を求めよ。

対称性より $\overset{―}{x} = 0$ となります。 $\overset{―}{y}$ については， $S = π a^{2} / 2$ および極座標変換により，

\begin{aligned} (5) & \overset{―}{y} & = \frac{2}{π a^{2}} \int_{0}^{π} \int_{0}^{a} r \sin θ r d r d θ = \frac{4 a}{3 π} \int_{0}^{π} \sin θ d θ = \frac{4 a}{3 π} \end{aligned}

となります。

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