本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
フロベニウスの定理
$n$次正方行列の固有多項式を
\begin{align}
\varphi_{A}(x) &= (x-\lambda_{1})\cdots(x-\lambda_{n})
\end{align}
\varphi_{A}(x) &= (x-\lambda_{1})\cdots(x-\lambda_{n})
\end{align}
とおくと，任意の多項式$f(x)$に対し，行列$f(A)$の固有多項式は
\begin{align}
\varphi_{f(A)}(x) &= (x-f(\lambda_{1}))\cdots(x-f(\lambda_{n}))
\end{align}
\varphi_{f(A)}(x) &= (x-f(\lambda_{1}))\cdots(x-f(\lambda_{n}))
\end{align}
と表される。
定理の形より具体例を見た方が直感的に捉えやすい定理です。
具体例
\begin{align}
A &=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2\\
0 & -1 & 1\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\end{align}
A &=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2\\
0 & -1 & 1\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\end{align}
とするとき，$f(A)=A^{3}+5A^{2}+8A-10E$と$g(A)=A^{-1}$の固有値を求めよ。
解答
$A$の固有多項式は
\begin{align}
\begin{vmatrix}
-1-\lambda & 0 & 2\\
0 & -1-\lambda & 1\\
2 & 1 & 3-\lambda
\end{vmatrix}
&= -(\lambda+1)(\lambda+2)(\lambda-4)
\end{align}
\begin{vmatrix}
-1-\lambda & 0 & 2\\
0 & -1-\lambda & 1\\
2 & 1 & 3-\lambda
\end{vmatrix}
&= -(\lambda+1)(\lambda+2)(\lambda-4)
\end{align}
となるため，$A$の固有値は$\lambda=-1,-2,4$となります。
\begin{align}
f(-1)=-14,\quad f(-2)=-14,\quad f(4)=166
\end{align}
f(-1)=-14,\quad f(-2)=-14,\quad f(4)=166
\end{align}
となるため，フロベニウスの定理より$f(A)$の固有値は$166,-14$ (重解)となります。同様に，
\begin{align}
g(-2)=-\frac{1}{2},\quad g(-1)=-1,\quad g(4)=\frac{1}{4}
\end{align}
g(-2)=-\frac{1}{2},\quad g(-1)=-1,\quad g(4)=\frac{1}{4}
\end{align}
となるため，フロベニウスの定理より$g(A)$の固有値は$-1/2,-1,1/4$となります。
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