本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
代表的な変換とその行列
問われやすい変換とその行列は下表の通りである。
| 対称の軸 | 変換を定める行列 |
|---|---|
| $x$軸 | \begin{flalign} &\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}&\notag \end{flalign} |
| $y$軸 | \begin{flalign} &\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}&\notag \end{flalign} |
| 原点 | \begin{flalign} &\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}&\notag \end{flalign} |
| $\theta$回転 | \begin{flalign} &\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}&\notag \end{flalign} |
| $y=x$ | \begin{flalign} &\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}&\notag \end{flalign} |
| $y=mx~(m=\tan \theta/2)$ | \begin{flalign} &\frac{1}{1+m^{2}} \begin{pmatrix} 1-m^{2} & 2m\\ 2m & m^{2}-1 \end{pmatrix}\notag\\[0.7em] &= \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}&\notag \end{flalign} |
複雑な変換もこれらの組み合わせであることが多いです。
詳細
$y=mx$に関する対称変換を定める行列だけ導出を行っておきます。$y=mx$に関する対称変換を$x$軸に対する対称変換を利用して実現することを考えます。実際，$y=mx$に関する対称変換$f$は
- $y=mx$を$x$軸とみなすため$-\theta/2$回転の変換$R(-\theta/2)$を適用する
- $x$軸に関する対称変換$A$を適用する
- $x$軸を$y=mx$に戻すため$\theta/2$回転の変換$R(\theta/2)$を適用する
という$3$つの変換の合成によって表されるため，$f$を定める行列は
R(\theta/2)AR(-\theta/2)
&=
\begin{pmatrix}
\cos\theta/2 \!\!\!& -\sin\theta/2\\
\sin\theta/2 \!\!\!& \cos\theta/2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos(-\theta/2) \!\!\!\!& -\sin(-\theta/2)\\
\sin(-\theta/2) \!\!\!\!& \cos(-\theta/2)
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{pmatrix}
\cos\theta/2 & -\sin\theta/2\\
\sin\theta/2 & \cos\theta/2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta/2 & \sin\theta/2\\
-\sin\theta/2 & \cos\theta/2
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{pmatrix}
\cos\theta/2 & -\sin\theta/2\\
\sin\theta/2 & \cos\theta/2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta/2 & \sin\theta/2\\
\sin\theta/2 & -\cos\theta/2
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{pmatrix}
\cos^{2}\theta/2-\sin^{2}\theta/2 & 2\sin\theta/2\cos\theta/2\\
2\sin\theta/2\cos\theta/2 & -(\cos^{2}\theta/2-\sin^{2}\theta/2)
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta\\
\sin\theta & -\cos\theta
\end{pmatrix}
\end{align}
と求められます。$\tan\theta$の半角の公式より，
\cos\theta &= \frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}
\end{align}
が得られ，これより
\sin\theta
&= \sqrt{1-\frac{(1-m^{2})^{2}}{(1+m^{2})^{2}}}
= \sqrt{\frac{4m^{2}}{(1+m^{2})^{2}}} = \frac{2m}{1+m^{2}}
\end{align}
となるため，$f$を定める行列は
\frac{1}{1+m^{2}}
\begin{pmatrix}
1-m^{2} & 2m\\
2m & m^{2}-1\notag
\end{pmatrix}
\end{align}
と書くこともできます。
具体例
例1
下記の行列が定める線形変換を説明せよ。
A=
\begin{pmatrix}
a & -b\\
b & a
\end{pmatrix},\quad
B=
\begin{pmatrix}
a & b\\
b & -a
\end{pmatrix}
\end{align}
ただし，$a^{2}+b^{2}\neq 0$とする。
例2
原点$O$のまわりに$2\pi/3$回転する線形変換を$f$，直線$y=-x$に関する対称変換を$g$とする。直線$l$は変換$f$によって直線$m$にうつり，直線$m$は変換$g$によって直線$n$にうつるとする。
- 直線$n$の方程式が$x-\sqrt{3}y=-1$のとき，直線$l$の方程式を求めよ
- 直線$l$の方程式が$x+y=1$のとき，直線$m$と直線$n$の方程式を求めよ
解答
例1
下記の行列が定める線形変換を説明せよ。
A=
\begin{pmatrix}
a & -b\\
b & a
\end{pmatrix},\quad
B=
\begin{pmatrix}
a & b\\
b & -a
\end{pmatrix}
\end{align}
ただし，$a^{2}+b^{2}\neq 0$とする。
行列$A$は
A &=
\sqrt{a^{2}+b^{2}}
\begin{pmatrix}
\displaystyle
\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} &
\displaystyle
-\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\
\displaystyle
\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} &
\displaystyle
\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
\end{pmatrix}
= R(\theta)
\end{align}
と変形できるため，$\theta$回転してからノルムを$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$倍する変換を表します。ただし，$\theta$は
\begin{cases}
\displaystyle
\cos\theta = \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\[0.7em]
\displaystyle
\sin\theta = \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
\end{cases}
を満たします。行列$B$は
A &=
\sqrt{a^{2}+b^{2}}
\begin{pmatrix}
\displaystyle
\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} &
\displaystyle
\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\
\displaystyle
\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} &
\displaystyle
-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta\\
\sin\theta & -\cos\theta
\end{pmatrix}
\end{align}
と変形できるため，直線$y=(\tan\theta/2)x$に関して対称移動してから，ノルムを$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$倍する変換を表します。
例2
原点$O$のまわりに$2\pi/3$回転する線形変換を$f$，直線$y=-x$に関する対称変換を$g$とする。直線$l$は変換$f$によって直線$m$にうつり，直線$m$は変換$g$によって直線$n$にうつるとする。
- 直線$n$の方程式が$x-\sqrt{3}y=-1$のとき，直線$l$の方程式を求めよ
- 直線$l$の方程式が$x+y=1$のとき，直線$m$と直線$n$の方程式を求めよ
線形変換$f,g$を定める行列をそれぞれ$F,G$とおくと，
F &= R(2\pi/3)
= \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
-1 & -\sqrt{3}\\
\sqrt{3} & -1
\end{pmatrix}\\[0.7em]
G &= \frac{1}{1+(-1)^{2}}
\begin{pmatrix}
1-(-1)^{2} & 2\cdot(-1)\\
2\cdot(-1) & (-1)^{2}-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
となるため，合成変換$g\circ f$を定める行列は
GF &= \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & -\sqrt{3}\\
\sqrt{3} & -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\sqrt{3} & 1\\
1 & \sqrt{3}
\end{pmatrix}
\end{align}
となります。
直線$l$の方程式について
合成変換により$(x,y)$は
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
-\sqrt{3} & 1\\
1 & \sqrt{3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\sqrt{3}x+y\\
x+\sqrt{3}y
\end{pmatrix}
\end{align}
と表されるため，この$(x^{\prime},y^{\prime})$が$x-\sqrt{3}y=-1$を満たすことから，
-\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}(x+\sqrt{3}y) = -1
\end{align}
を得ます。これを整理することにより，直線$l$の方程式は$\sqrt{3}x+y=1$となります。
直線$m$の方程式について
変換$f$の逆写像を定める行列は$R(-2\pi/3)$を定める行列となるため，
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
-1 & \sqrt{3}\\
-\sqrt{3} & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix}
=\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
-x^{\prime}+\sqrt{3}y^{\prime}\\
-\sqrt{3}x^{\prime}-y^{\prime}
\end{pmatrix}
\end{align}
を得ます。$(x,y)$は$x+y=1$を満たすことから，
\frac{-x^{\prime}+\sqrt{3}y^{\prime}}{2}+\frac{-\sqrt{3}x^{\prime}-y^{\prime}}{2}=1
\end{align}
を得ます。これを整理することにより，直線$m$の方程式の解答は$(\sqrt{3}+1)x-(\sqrt{3}-1)y+2=0$となります。
直線$n$の方程式について
変換$g$の逆変換は変換$g$そのものであることから，
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^{\prime}\\
y^{\prime}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-y^{\prime}\\
-x^{\prime}
\end{pmatrix}
\end{align}
を得ます。$(x,y)$は$(\sqrt{3}+1)x-(\sqrt{3}-1)y+2=0$を満たすことから，
-(\sqrt{3}+1)y+(\sqrt{3}-1)x+2=0
\end{align}
を得ます。これを整理することにより，直線$n$の方程式の解答は$(\sqrt{3}-1)x-(\sqrt{3}+1)y+2=0$となります。
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