【数検1級対策】ケイリー・ハミルトンの定理とその応用

本記事では，数学検定1級で頻出のケイリー・ハミルトンの定理とその応用についてまとめていきます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

ケイリー・ハミルトンの定理とその応用

特に1.が引っかけポイントです。

具体例

1. $A^2-7A+10E=O$を満たす$a+d$と$ad-bc$を求めよ
2. $A^2=A$を満たす二次正方行列をすべて求めよ
3. 下記の行列の$n$乗を求めよ

1.の解答

ケイリー・ハミルトンの定理と与えられた等式の差を取ることにより，

が得られます。$a+d=7$のときは$ad-bc=10$となり，$a+d\ne 7$のときは$A=kE$となるので

が得られます。$k=2$のとき$a+d=4$かつ$ad-bc=4$，$k=5$のとき$a+d=10$かつ$ad-bc=25$となります。以上より，

となります。

2.の解答

ケイリー・ハミルトンの定理に$A^2=A$を代入すると，

が得られます。$a+d-1=0$のとき，$ad-bc=0$となるため，これらを連立方程式として解きます。$d=1-a$を後者の式に代入すると，

となります。$b=0$のとき，$a=0,1$かつ$c=r$となります。ただし，$r$は任意の実数とします。$b\ne 0$のとき，$a=p$かつ$b=q$とおくと$c=p(1-p)/q$かつ$d=1-p$となります。$a+d-1\ne 0$のとき，

より$A=kE$と表されるため，$A^2=A$に代入すると$(k^2-k)E=0$が得られます。これを解くと$k=0,1$が得られます。以上より，求める二次正方行列は

となります。

$A=kE$と表さずに式($\text{8}$)のまま解答すると，具体的な$a,b,c,d$が求められず不適です。

3.の解答

ケイリー・ハミルトンの定理より，

が成り立ちます。$A$と$E$は可換であることから$A^n$を$A^2-6A+9E$で整式のように割ることを考え，

と変形することを目指します。$A$の代わりに$x$を用いて

と表し，両辺を$x$で微分することにより，

を得ます。式($\text{12}$)と式($\text{13}$)にそれぞれ$x=3$を代入すると，

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \{\begin{array}{l}{3}^n=3p+q\\ n\cdot 3^{n-1}=p\end{array}\end{array}$$

となるため，これを連立すると

が得られます。したがって，

となります。