本記事では，数学検定1級で頻出の連立一次合同式の解法についてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
直線と平面の方程式
点$(x_{1}, y_{1}, z_{1})$を通り$(a, b, c)$に並行な直線は
\begin{align}
\frac{x-x_{1}}{a}
= \frac{y-y_{1}}{b}
= \frac{z-z_{1}}{c}
\end{align}
\frac{x-x_{1}}{a}
= \frac{y-y_{1}}{b}
= \frac{z-z_{1}}{c}
\end{align}
で表される。ただし，分母が$0$のときは分子も$0$と考える。点$(x_{1}, y_{1}, z_{1})$を通り$(a, b, c)$に垂直な平面は
\begin{align}
a(x-x_{1}) + b(y-y_{1}) + c(z-z_{1}) &= 0
\end{align}
a(x-x_{1}) + b(y-y_{1}) + c(z-z_{1}) &= 0
\end{align}
と表される。点$(x_{1}, y_{1}, z_{1})$を中心とする半径$r$の球面は
\begin{align}
(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2} &= r^{2}
\end{align}
(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2} &= r^{2}
\end{align}
と表される。平面$ax+by+cz+d=0$と平面上にない点$(x_{1}, y_{1}, z_{1})$の距離は
\begin{align}
\frac{|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}
\end{align}
\frac{|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}
\end{align}
で求められる。
直線の方程式は方向ベクトル，平面の方程式は法線ベクトルであることに注意してください。
例題とその解説
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