本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
線型変換の行列表現
$V$を$\mK$上の$n$次元ベクトル空間とし，$F:V\rightarrow V$を線型変換とする。$\alpha$を$V$の一つの基底とするとき，表現行列$[F]_{\alpha}^{\alpha}$を簡単に基底$\alpha$に関する表現行列とよび，
\begin{align}
[F]_{\alpha}
\end{align}
[F]_{\alpha}
\end{align}
で表す。
表現行列は二つの基底に対して定義されますが，多くの場合は一つの基底に対してのみ定義すれば十分な場合が多く，そのときは表記も簡略化するという約束事です。
補足
表現行列の定義より，$\alpha=\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$とすると，
\begin{align}
F(v_{j}) &= \sum_{i=1}^{m}a_{i,j}v_{i}
\end{align}
F(v_{j}) &= \sum_{i=1}^{m}a_{i,j}v_{i}
\end{align}
が成り立ちます。
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