本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
可換な線型変換の合成と核
$G,H$をベクトル空間$V$の可換な線型変換，すなわち$GH=HG$であるような線型変換とし，$v$を$V$の元の一つとする。もし，
\begin{align}
G^{l}(v)=0,\quad H^{m}(v)=0 \label{仮定}
\end{align}
G^{l}(v)=0,\quad H^{m}(v)=0 \label{仮定}
\end{align}
となるような正の整数$l,m$が存在するならば，
\begin{align}
(G+H)^{t}(v) &= 0\label{主題}
\end{align}
(G+H)^{t}(v) &= 0\label{主題}
\end{align}
となるような正の整数$t$が存在する。
分解定理の証明に利用される定理です。
証明
可換な線型変換には二項定理が適用できますので，
\begin{align}
(G+H)^{t} &= G^{t}+{}_tC_{1}G^{t-1}H+\cdots+{}_tC_{t-1}GH^{t-1}+H^{t}\label{二項定理}
\end{align}
(G+H)^{t} &= G^{t}+{}_tC_{1}G^{t-1}H+\cdots+{}_tC_{t-1}GH^{t-1}+H^{t}\label{二項定理}
\end{align}
と表されます。式($\ref{二項定理}$)の各項の$G$と$H$の指数を$G^{r}H^{s}$とおくと，$r,s$は$r{+}s=t$を満たす正の整数になります。ここで，$t\geq l+m$を満たすように$t$を設定すると，$r\geq l$または$s\geq m$が成り立ちますので，全ての項に式($\ref{仮定}$)を適用することができます。すなわち，
\begin{align}
G^{r}H^{s}(v) &= 0\label{結果}
\end{align}
G^{r}H^{s}(v) &= 0\label{結果}
\end{align}
となります。式($\ref{結果}$)を式($\ref{二項定理}$)に代入すると，式($\ref{主題}$)が示されます。
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