【徹底解説】テプリッツの定理＜複素内積空間＞

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

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テプリッツの定理＜複素内積空間＞

行列の標準化に関する非常に重要な定理です。

証明

$F$が正規変換であるとき，定義より$F^{\ast}F=FF^{\ast}$を満たします。したがって，可換な合成写像と上三角行列の性質より，$V$の適当な正規直交基底$\beta$に関する表現行列$[F]_{\beta},[F^{\ast}]_{\beta}$はともに上三角行列になります。$A=[F]_{\beta}$とおくと，表現行列の定義より$A^{\ast}=[F^{\ast}]_{\beta}$となるため，$A$と$A^{\ast}$はともに上三角行列になります。ところで，$A^{\ast}$は$A$の随伴行列ですので，$A$が上三角行列であることから$A^{\ast}$は下三角行列でもあります。上三角行列かつ下三角行列である行列は対角行列しか存在しないため，$A^{\ast}$は対角行列になります。すると，$A^{\ast}$の随伴行列である$A$も対角行列になります。したがって，正規変換$F$は$V$の適当な正規直交基底により対角行列で表現されることが示されました。

逆に，線型変換$F$は$V$の適当な正規直交基底$\beta$により対角行列$A$で表現されるとします。すなわち，$F$の表現行列を$A$とします。このとき，表現行列の定義より$F$の随伴変換$F^{\ast}$の表現行列は$A^{\ast}$となります。いま，$A,A^{\ast}$がともに対角行列で，対角行列は可換であることから，$A^{\ast}A=AA^{\ast}$となります。すなわち，$F^{\ast}F=FF^{\ast}$となります。したがって，線型変換$F$が$V$の適当な正規直交基底$\beta$により対角行列$A$で表現されるならば，$F$は正規変換であることが示されました。