本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
余因子行列の行列式
$A$を$n$次正方行列，$\tilde{A}$を$A$の余因子行列とすると，以下が成り立つ。
\begin{alignat}{2}
A\tilde{A} &= \tilde{A}A &&= \det (A)I_{n} \label{主題}
\end{alignat}
A\tilde{A} &= \tilde{A}A &&= \det (A)I_{n} \label{主題}
\end{alignat}
ただし，$I_{n}$は$n$次元単位行列を表す。
併せて余因子行列を用いた逆行列の表現をおさえましょう。
証明
余因子展開の性質より，以下が成り立ちます。
\begin{align}
\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\Delta_{kj}&=
\begin{cases}
\det (A) & (i=k) \\[0.7em]
0 & (i\neq k)
\end{cases}\label{1}\\[0.7em]
\sum_{i=1}^{n} a_{ij}\Delta_{il}&=
\begin{cases}
\det (A) & (j=l) \\[0.7em]
0 & (j\neq l)
\end{cases}\label{2}
\end{align}
\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\Delta_{kj}&=
\begin{cases}
\det (A) & (i=k) \\[0.7em]
0 & (i\neq k)
\end{cases}\label{1}\\[0.7em]
\sum_{i=1}^{n} a_{ij}\Delta_{il}&=
\begin{cases}
\det (A) & (j=l) \\[0.7em]
0 & (j\neq l)
\end{cases}\label{2}
\end{align}
行列積の定義より，式($\ref{1}$)の左辺は$A\tilde{A}$の$(i,k)$成分を，式($\ref{2}$)の左辺は$\tilde{A}A$の$(l,j)$成分を表しています。すなわち，$A\tilde{A}$と$\tilde{A}A$は対角成分に$\det (A)$が並ぶ行列であることが分かります。したがって，式($\ref{主題}$)が示されました。
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