本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
三角行列の定義
三角行列とは上三角行列又は下三角行列のことを指す。$n$次元正方行列$A$の各成分を$a_{i,j}$と表すとき，
\begin{align}
a_{i,j} &= 0 \quad(i > j)
\end{align}
a_{i,j} &= 0 \quad(i > j)
\end{align}
を満たす行列を上三角行列と呼び，以下のような形となる。
\begin{align}
A &=
\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n-1} & a_{1,n} \\[0.7em]
0 & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n-1} & a_{2,n} \\[0.7em]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\[0.7em]
0 & 0 & \cdots & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\[0.7em]
0 & 0 & \cdots & 0 & a_{n,n} \\[0.7em]
\end{bmatrix}
\end{align}
A &=
\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n-1} & a_{1,n} \\[0.7em]
0 & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n-1} & a_{2,n} \\[0.7em]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\[0.7em]
0 & 0 & \cdots & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\[0.7em]
0 & 0 & \cdots & 0 & a_{n,n} \\[0.7em]
\end{bmatrix}
\end{align}
一方，
\begin{align}
a_{i,j} &= 0 \quad(i < j)
\end{align}
a_{i,j} &= 0 \quad(i < j)
\end{align}
を満たす行列を下三角行列と呼び，以下のような形となる。
\begin{align}
A &=
\begin{bmatrix}
a_{1,1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\[0.7em]
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & 0 & 0 \\[0.7em]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\[0.7em]
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n-1} & 0 \\[0.7em]
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{n,n} \\[0.7em]
\end{bmatrix}
\end{align}
A &=
\begin{bmatrix}
a_{1,1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\[0.7em]
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & 0 & 0 \\[0.7em]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\[0.7em]
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n-1} & 0 \\[0.7em]
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{n,n} \\[0.7em]
\end{bmatrix}
\end{align}
上三角行列は右三角行列，下三角行列は左三角行列とも呼ばれます。
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