本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
0とおいて当たりをつける因数分解
$x,y$に関する$2$次式の因数分解では，$x=0$または$y=0$を代入した上で因数分解の形を決めつけてしまうアプローチが有効になる。
因数定理でも解くことができない$2$次式の扱いです。
例題
\begin{align}
x^{2}-7xy+11y^{2}+3x-8y+1 = 0
\end{align}
x^{2}-7xy+11y^{2}+3x-8y+1 = 0
\end{align}
$x$の降べきの順に整理しても因数分解はできなさそうです。そこで$x=0$または$y=0$を代入して当たりを付けることを考えます。$x=0$とおくと$y$の係数が$11$で扱いにくそうであるため$y=0$とおいてみることにします。すると，解の公式より
\begin{align}
x^{2}+3x+1 = \left(x+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)
\end{align}
x^{2}+3x+1 = \left(x+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)
\end{align}
と因数分解することができます。ゆえに，与式が因数分解できるとすれば
\begin{align}
x^{2}-7xy+11y^{2}+3x-8y+1 = \left(x+Ay+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+By+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)
\end{align}
x^{2}-7xy+11y^{2}+3x-8y+1 = \left(x+Ay+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+By+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)
\end{align}
という形になることが予想されます。実際，右辺を展開して係数比較すると，
\begin{align}
\begin{cases}
A+B=-7\\[0.7em]
AB=11
\end{cases}
\end{align}
\begin{cases}
A+B=-7\\[0.7em]
AB=11
\end{cases}
\end{align}
に加えて，$\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2}A+\frac{3+\sqrt{5}}{2}B=-8$が得られるため，$A,B$は
\begin{align}
t^{2}+7t+11=0
\end{align}
t^{2}+7t+11=0
\end{align}
の解のうち$\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2}A+\frac{3+\sqrt{5}}{2}B=-8$を満たす組み合わせであることが分かります。すなわち，$\displaystyle t=\frac{-7\pm\sqrt{5}}{2}$のうち
\begin{align}
(A,B) = \left(\frac{-7-\sqrt{5}}{2},\frac{-7+\sqrt{5}}{2}\right)
\end{align}
(A,B) = \left(\frac{-7-\sqrt{5}}{2},\frac{-7+\sqrt{5}}{2}\right)
\end{align}
となります。したがって，求める答えは
\begin{align}
&x^{2}-7xy+11y^{2}+3x-8y+1\\[0.7em]
&= \left(x-\frac{7+\sqrt{5}}{2}y+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{7-\sqrt{5}}{2}y+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)
\end{align}
&x^{2}-7xy+11y^{2}+3x-8y+1\\[0.7em]
&= \left(x-\frac{7+\sqrt{5}}{2}y+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{7-\sqrt{5}}{2}y+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)
\end{align}
となります。
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