本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
陰関数に対するラプラシアンの計算
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x+2y+2z=0$に対し，
\begin{align}
\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}
\end{align}
\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}
\end{align}
を求めなさい。
愚直に計算すると計算が面倒です。
解答
与式を
\begin{align}
f(x,y,z(x,y)) = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x+2y+2z = 0
\end{align}
f(x,y,z(x,y)) = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x+2y+2z = 0
\end{align}
とおきます。合成関数の偏微分と連鎖律を用いて両辺を$x$で偏微分すると，
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}
= (2x+2)+(2z+2)\frac{\partial z}{\partial x} = 0
\end{align}
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}
= (2x+2)+(2z+2)\frac{\partial z}{\partial x} = 0
\end{align}
となるため，
\begin{align}
\frac{\partial z}{\partial x} &= -\frac{x+1}{z+1}
\end{align}
\frac{\partial z}{\partial x} &= -\frac{x+1}{z+1}
\end{align}
が得られます。同様に，両辺を$y$で偏微分すると，
\begin{align}
\frac{\partial z}{\partial y} &= -\frac{y+1}{z+1}
\end{align}
\frac{\partial z}{\partial y} &= -\frac{y+1}{z+1}
\end{align}
が得られます。これらより，
\begin{align}
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}
&= \frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{x+1}{z+1}\right) + \frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{y+1}{z+1}\right)\\[0.7em]
&= -\frac{(z+1)+(x+1)/(z+1)}{(z+1)^{2}} - \frac{(z+1)+(y+1)/(z+1)}{(z+1)^{2}}\\[0.7em]
&= -\frac{(z+1)^{2}+(x+1)+(z+1)^{2}+(y+1)}{(z+1)^{3}}\\[0.7em]
&= -\frac{(x+1)+(y+1)+2(z+1)^{2}}{(z+1)^{3}}\label{代入先}
\end{align}
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}
&= \frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{x+1}{z+1}\right) + \frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{y+1}{z+1}\right)\\[0.7em]
&= -\frac{(z+1)+(x+1)/(z+1)}{(z+1)^{2}} - \frac{(z+1)+(y+1)/(z+1)}{(z+1)^{2}}\\[0.7em]
&= -\frac{(z+1)^{2}+(x+1)+(z+1)^{2}+(y+1)}{(z+1)^{3}}\\[0.7em]
&= -\frac{(x+1)+(y+1)+2(z+1)^{2}}{(z+1)^{3}}\label{代入先}
\end{align}
が得られます。ここで，$f$を変形すると
\begin{align}
(x+1)^{2}+(y+1)^{2} = 3-(z+1)^{2}
\end{align}
(x+1)^{2}+(y+1)^{2} = 3-(z+1)^{2}
\end{align}
となるため，これを式($\ref{代入先}$)に代入すると，求める答えは
\begin{align}
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}
&= -\frac{3-(z+1)^{2}+2(z+1)^{2}}{(z+1)^{3}}\\[0.7em]
&= -\frac{3+(z+1)^{2}}{(z+1)^{3}}
= -\frac{z^{2}+2z+4}{(z+1)^{3}}
\end{align}
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}
&= -\frac{3-(z+1)^{2}+2(z+1)^{2}}{(z+1)^{3}}\\[0.7em]
&= -\frac{3+(z+1)^{2}}{(z+1)^{3}}
= -\frac{z^{2}+2z+4}{(z+1)^{3}}
\end{align}
となります。
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