本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
正射影の定義
任意のベクトル$\vv\in\mR^{n}$と部分空間$W\subseteq\mR^{n}$に対し，$\vv$の$W$への正射影ベクトル$\vp\in W$はは次のように定義される。
\begin{align}
\vv &= \vp + \ve,\quad \ve\in W^{\perp}
\end{align}
\vv &= \vp + \ve,\quad \ve\in W^{\perp}
\end{align}
すなわち，ベクトルをある点光源からスクリーンに映した影のことを正射影という。
主に1次試験で問われる内容です。
正射影の長さ
$\va$上への$\vb$の正射影$\vv$の長さは$\displaystyle \frac{|\va\cdot \vb|}{|\va|}$となり，$\displaystyle \vv=\frac{\va\cdot \vb}{|\va|^{2}}\va$と表される。
正射影の定義より$|\vv|=|\vb|\cos\theta$となるため，$\va$と$\vb$のなす角を$\theta$とおくと，
\begin{align}
\va\cdot \vb &= |\va||\vb|\cos\theta = \pm|\va||\vv|
\end{align}
\va\cdot \vb &= |\va||\vb|\cos\theta = \pm|\va||\vv|
\end{align}
となります。ただし，$0\leq\theta<\pi/2$のときは正の符号，$\pi/2<\theta\leq\pi$のときは負の符号となります。したがって，正射影の長さは
\begin{align}
|\vv| &= \pm\frac{\va\cdot\vb}{|\va|} \left(= \frac{|\va\cdot\vb|}{|\va|}\right)
\end{align}
|\vv| &= \pm\frac{\va\cdot\vb}{|\va|} \left(= \frac{|\va\cdot\vb|}{|\va|}\right)
\end{align}
となるため，正射影は$\va$の単位ベクトル$\displaystyle\frac{\va}{|\va|}$を用いて
\begin{align}
\vv &= \frac{\va\cdot\vb}{|\va|}\cdot\frac{\va}{|\va|} = \frac{\va\cdot \vb}{|\va|^{2}}\va
\end{align}
\vv &= \frac{\va\cdot\vb}{|\va|}\cdot\frac{\va}{|\va|} = \frac{\va\cdot \vb}{|\va|^{2}}\va
\end{align}
と表される。ただし，正負の符号はベクトルの向きを表すため省略しました。
コメント