本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
有名な因数分解公式
- 累乗の差の因数分解
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\begin{align}
x^{n}-y^{n} = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})
\end{align} - 対称式の平方和への分解
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\begin{align}
x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx = \frac{1}{2}\left\{(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\right\}
\end{align} - 3変数完全対称式の因数分解
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\begin{align}
x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)
\end{align} - 一見できなさそうな因数分解
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\begin{align}
x^{4}+x^{2}+1 = (x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)\\[0.7em]
x^{4}-13x^{2}+4 = (x^{2}+3x-2)(x^{2}-3x-2)
\end{align} - ソフィージェルマンの恒等式
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\begin{align}
x^{4}+4y^{4}
&= (x^{2}+2xy+2y^{2})(x^{2}-2xy+2y^{2})
\end{align}
数学検定1級ではこの手の因数分解は頻出の印象があります。特に1次の問1や問2で問われやすい内容になっているため，公式が似ているため覚えるのは大変ですがある程度の形を押さえておけば当日展開しなから導出することも可能です。
証明
右辺を展開することにより左辺を得ます。
補足
$x=y=z=1$を代入すると$0$となる$x,y,z$の$4$次式で，$4$次の項が$(x+y+z)xyz$となる場合は
\begin{align}
(x+y+z+k)(x-1)(y-1)(z-1)
\end{align}
(x+y+z+k)(x-1)(y-1)(z-1)
\end{align}
と因数分解できます。仮に$x=y=z=0$のとき$1$となる条件があれば，$k=-1$が得られるため，
\begin{align}
(x+y+z-1)(x-1)(y-1)(z-1)
\end{align}
(x+y+z-1)(x-1)(y-1)(z-1)
\end{align}
と因数分解できます。
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