本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
King Property
\begin{align}
\int_{a}^{b}f(x)dx &= \int_{a}^{b}f(a+b-x)dx
\end{align}
\int_{a}^{b}f(x)dx &= \int_{a}^{b}f(a+b-x)dx
\end{align}
名前の由来は不明らしいです。
証明は置換積分に基づきます。左辺において$y=a+b-x$とおくと，
\begin{align}
\int_{a}^{b}f(x)dx
&= \int_{b}^{a}f(y)dy
=\int_{b}^{a}f(a+b-x)\frac{dy}{dx}dx\\[0.7em]
&= \int_{b}^{a}f(a+b-x)(-dx)
= \int_{a}^{b}f(a+b-x)dx
\end{align}
\int_{a}^{b}f(x)dx
&= \int_{b}^{a}f(y)dy
=\int_{b}^{a}f(a+b-x)\frac{dy}{dx}dx\\[0.7em]
&= \int_{b}^{a}f(a+b-x)(-dx)
= \int_{a}^{b}f(a+b-x)dx
\end{align}
が得られます。
補足
$y=a+b-x$は
\begin{align}
y - \frac{a+b}{2} &= -\left(x-\frac{a+b}{2}\right)
\end{align}
y - \frac{a+b}{2} &= -\left(x-\frac{a+b}{2}\right)
\end{align}
と変換でき，$x=(a+b)/2$を中心とした鏡映変換であることが分かります。ゆえに，King Propertyは$f(x)$の定積分において積分区間の中点を中心として鏡映しにしても面積が変わらないことを表しています。
例題1
次の定積分を求めよ。
\begin{align}
I &= \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx
\end{align}
I &= \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx
\end{align}
King Propertyより，
\begin{align}
I
&= \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin (\pi/2-x)}{\sin (\pi/2-x) + \cos (\pi/2-x)}dx
= \int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx \equiv J
\end{align}
I
&= \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin (\pi/2-x)}{\sin (\pi/2-x) + \cos (\pi/2-x)}dx
= \int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx \equiv J
\end{align}
となるため，
\begin{align}
I + J
&= 2I
= \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x}dx
= \frac{\pi}{2}
\end{align}
I + J
&= 2I
= \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x}dx
= \frac{\pi}{2}
\end{align}
が得られます。したがって，求める答えは$I=\pi/4$です。
例題2
次の定積分を求めよ。
\begin{align}
I &= \int_{0}^{\pi/2}\log \frac{\sin 2x}{2}dx
\end{align}
I &= \int_{0}^{\pi/2}\log \frac{\sin 2x}{2}dx
\end{align}
与式を変形すると
\begin{align}
I &= \int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x \cos x)~dx
= \int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)dx + \int_{0}^{\pi/2}\log(\cos x)dx
\equiv 2J \label{連立1}
\end{align}
I &= \int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x \cos x)~dx
= \int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)dx + \int_{0}^{\pi/2}\log(\cos x)dx
\equiv 2J \label{連立1}
\end{align}
となります。ただし，King Propertyより
\begin{align}
J &= \int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)dx = \int_{0}^{\pi/2}\log(\cos x)dx
\end{align}
J &= \int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)dx = \int_{0}^{\pi/2}\log(\cos x)dx
\end{align}
を利用しました。一方，$t=2x$と置換すると，
\begin{align}
I &= \int_{0}^{\pi/2}\log(\sin 2x)dx - \int_{0}^{\pi/2}\log 2 dx
= \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\log(\sin t)dt - \frac{\pi}{2}\log 2
\end{align}
I &= \int_{0}^{\pi/2}\log(\sin 2x)dx - \int_{0}^{\pi/2}\log 2 dx
= \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\log(\sin t)dt - \frac{\pi}{2}\log 2
\end{align}
が得られます。ここで，一般に
\begin{align}
f\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)
&= f(\cos x)
= f\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\right)
\end{align}
f\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)
&= f(\cos x)
= f\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\right)
\end{align}
が成り立つため，$f(\sin x)$は$\pi/2$に関して対称となります。したがって，$f(\sin x)$の区間$[0,\pi]$における定積分は区間$[0,\pi/2]$における定積分の$2$倍となるため，
\begin{align}
I &= \int_{0}^{\pi/2}\log(\sin t)dt - \frac{\pi}{2}\log 2
= J - \frac{\pi}{2}\log 2 \label{連立2}
\end{align}
I &= \int_{0}^{\pi/2}\log(\sin t)dt - \frac{\pi}{2}\log 2
= J - \frac{\pi}{2}\log 2 \label{連立2}
\end{align}
が得られます。式($\ref{連立1}$)と式($\ref{連立2}$)より，求める答えは
\begin{align}
I = -\pi\log 2
\end{align}
I = -\pi\log 2
\end{align}
となります。
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