本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
二次元一様分布と重積分
平面上の$4$点$O(0,0)$，$A(4,2)$，$B(3,4)$，$C(-1,2)$の作る長方形$OABC$上に一様分布する確率変数$(X,Y)$に対し，$E[XY]$を求めよ。
解答
線分$OA$の長さは$2\sqrt{5}$であるため，点$A$が$x$軸上の点$A^{\prime}(2\sqrt{5},0)$に移るように長方形を回転させればよいです。$\angle AOA^{\prime}=\theta$とおくと，
\begin{align}
\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}} ,\quad
\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}
\end{align}
\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}} ,\quad
\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}
\end{align}
となるため，回転前の$(X,Y)$は回転後の$(X^{\prime},Y^{\prime})$を用いて
\begin{align}
\begin{pmatrix}
X\\
Y
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\cos(-\theta) & -\sin(-\theta)\\
\sin(-\theta) & \cos(-\theta)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X^{\prime}\\
Y^{\prime}
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{pmatrix}
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5}\\
-1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X^{\prime}\\
Y^{\prime}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(2X^{\prime}+Y^{\prime})/\sqrt{5}\\
(X^{\prime}-2Y^{\prime})/\sqrt{5}
\end{pmatrix}
\end{align}
\begin{pmatrix}
X\\
Y
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\cos(-\theta) & -\sin(-\theta)\\
\sin(-\theta) & \cos(-\theta)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X^{\prime}\\
Y^{\prime}
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{pmatrix}
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5}\\
-1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X^{\prime}\\
Y^{\prime}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(2X^{\prime}+Y^{\prime})/\sqrt{5}\\
(X^{\prime}-2Y^{\prime})/\sqrt{5}
\end{pmatrix}
\end{align}
と表されるため，
\begin{align}
XY
&= \frac{2}{5}\{(X^{\prime})^{2}-(Y^{\prime})^{2}\} + \frac{3}{5}X^{\prime}Y^{\prime}
\end{align}
XY
&= \frac{2}{5}\{(X^{\prime})^{2}-(Y^{\prime})^{2}\} + \frac{3}{5}X^{\prime}Y^{\prime}
\end{align}
が得られます。$E[X^{\prime}]$を求めます。二次元一様分布は$x$軸上で確率密度関数を$1/(2\sqrt{5})$とする一様分布となることに注意すると，
\begin{align}
E[(X^{\prime})^{2}] &= \frac{1}{2\sqrt{5}}\int_{0}^{2\sqrt{5}}x^{2}dx = \frac{20}{3}
\end{align}
E[(X^{\prime})^{2}] &= \frac{1}{2\sqrt{5}}\int_{0}^{2\sqrt{5}}x^{2}dx = \frac{20}{3}
\end{align}
が得られます。同様に，
\begin{align}
E[(Y^{\prime})^{2}] &= \frac{1}{\sqrt{5}}\int_{0}^{\sqrt{5}}y^{2}dy = \frac{5}{3}
\end{align}
E[(Y^{\prime})^{2}] &= \frac{1}{\sqrt{5}}\int_{0}^{\sqrt{5}}y^{2}dy = \frac{5}{3}
\end{align}
が得られます。この長方形の面積は$2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=10$となるため，長方形上の一様分布の確率密度関数$f(x,y)$は$1/10$と表されます。このことから，
\begin{align}
E[X^{\prime}Y^{\prime}]
&= \frac{1}{10}\int_{0}^{2\sqrt{5}}\!\!\!\int_{0}^{\sqrt{5}}xy\,dxdy
= \frac{1}{10}\cdot 10\cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2}
\end{align}
E[X^{\prime}Y^{\prime}]
&= \frac{1}{10}\int_{0}^{2\sqrt{5}}\!\!\!\int_{0}^{\sqrt{5}}xy\,dxdy
= \frac{1}{10}\cdot 10\cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2}
\end{align}
が得られます。以上より，
\begin{align}
E[XY]
&= \frac{2}{5}\{E[(X^{\prime})^{2}]-E[(Y^{\prime})^{2}\}] + \frac{3}{5}E[X^{\prime}Y^{\prime}]\\[0.7em]
&= \frac{2}{5}\left(\frac{20}{3}-\frac{5}{3}\right)+\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}
= 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}
\end{align}
E[XY]
&= \frac{2}{5}\{E[(X^{\prime})^{2}]-E[(Y^{\prime})^{2}\}] + \frac{3}{5}E[X^{\prime}Y^{\prime}]\\[0.7em]
&= \frac{2}{5}\left(\frac{20}{3}-\frac{5}{3}\right)+\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}
= 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}
\end{align}
となります。
補足
回転させない長方形のまま，上半分と下半分に積分領域を分けて計算することもできます。
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