本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
二重積分と積分領域の交換
二重積分
\begin{align}
J &= \iint_{D}f(x,y)dxdy
\end{align}
J &= \iint_{D}f(x,y)dxdy
\end{align}
において，領域$D$が次のように$2$通りで表せるとする。
\begin{align}
&\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,~\varphi_{1}(x)\leq y\leq \varphi_{2}(x)\}\\[0.7em]
&\{(x,y)\mid \psi_{1}(y)\leq x\leq \psi_{2}(y),~c\leq y\leq d\}
\end{align}
&\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,~\varphi_{1}(x)\leq y\leq \varphi_{2}(x)\}\\[0.7em]
&\{(x,y)\mid \psi_{1}(y)\leq x\leq \psi_{2}(y),~c\leq y\leq d\}
\end{align}
このとき，関数$f(x,y)$が領域$D$上で連続ならば
\begin{align}
J
&= \int_{a}^{b}\left\{\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}f(x,y)dy\right\}dx
= \int_{c}^{d}\left\{\int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)}f(x,y)dx\right\}dy
\end{align}
J
&= \int_{a}^{b}\left\{\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}f(x,y)dy\right\}dx
= \int_{c}^{d}\left\{\int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)}f(x,y)dx\right\}dy
\end{align}
のように積分順序を交換できる。
積分が簡単になる順序をよく検討する必要があります。
覚え方
後に動かしたい変数を定数で挟み，先に動かしたい変数を後に動かしたい変数で挟むイメージです。
具体例
次の二重積分の値を求めよ。
\begin{align}
\iint_{D}e^{y^{2}}dxdy,\quad D:x\leq y\leq 2,~0\leq x\leq 2
\end{align}
\iint_{D}e^{y^{2}}dxdy,\quad D:x\leq y\leq 2,~0\leq x\leq 2
\end{align}
解答
被積分関数は$y$の関数であるため，$x$から先に積分するように領域$D$を表します。具体的には，
\begin{align}
D:0\leq x\leq y,~0\leq y\leq 2
\end{align}
D:0\leq x\leq y,~0\leq y\leq 2
\end{align}
と表せます。
実際は絵を描いて変換すると分かりやすいです。
領域$D$上で$f(x,y)$は連続であるため，
\begin{align}
\iint_{D}e^{y^{2}}dxdy
&= \int_{0}^{2}\left\{\int_{0}^{y}e^{y^{2}}dx\right\}dy
= \int_{0}^{2}ye^{y^{2}}dy
= \frac{1}{2}\left[e^{y^{2}}\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2}(e^{4}-1)
\end{align}
\iint_{D}e^{y^{2}}dxdy
&= \int_{0}^{2}\left\{\int_{0}^{y}e^{y^{2}}dx\right\}dy
= \int_{0}^{2}ye^{y^{2}}dy
= \frac{1}{2}\left[e^{y^{2}}\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2}(e^{4}-1)
\end{align}
となります。
補足
三重積分以上は「絵を描いて積分領域を工夫する」ことが難しいため，機械的に積分できるような問題が出題されることがほとんどです。例えば，
\begin{align}
\iiint_{D}xyz~dxdydz,\quad D:x+y+z\leq a,~x\geq 0,~y\geq 0,~z\geq 0
\end{align}
\iiint_{D}xyz~dxdydz,\quad D:x+y+z\leq a,~x\geq 0,~y\geq 0,~z\geq 0
\end{align}
は$x,y,z$に関してそれぞれ対称であるため，どの順序で積分しても計算の煩雑さは変わりません。$z$から動かすとした場合は$x,y$を固定して$0{\leq}z{\leq}a{-}x{-}y$で動かし，次に$y$は$x$を固定して$0{\leq}y{\leq}a{-}x$で動かし，最後に$x$を$0{\leq}x{\leq}a$で動かせばよいです。つまり，
\begin{align}
\int_{0}^{a}\int_{0}^{a-x}\int_{0}^{a-x-y}xyz~dxdydz
\end{align}
\int_{0}^{a}\int_{0}^{a-x}\int_{0}^{a-x-y}xyz~dxdydz
\end{align}
と計算します。
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