本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
ウォリスの公式とその活用
$0$以上の整数$n$に対し，
\begin{align}
I_{n} &\equiv \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx
= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x dx
\end{align}
I_{n} &\equiv \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx
= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x dx
\end{align}
とおくとき，
\begin{align}
I_{n} &=
\begin{cases}
\displaystyle
\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}&(n\text{が}2\text{以上の偶数の場合})\\[0.7em]
\displaystyle
\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}&(n\text{が}3\text{以上の奇数の場合})
\end{cases}\label{主題}
\end{align}
I_{n} &=
\begin{cases}
\displaystyle
\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}&(n\text{が}2\text{以上の偶数の場合})\\[0.7em]
\displaystyle
\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}&(n\text{が}3\text{以上の奇数の場合})
\end{cases}\label{主題}
\end{align}
となる。
$\sin x$と$\cos x$の積や$n$乗を計算する際に重宝します。
証明
部分積分を用いて漸化式を導出します。$I_{n}$を変形すると
\begin{align}
I_{n}
&= \int_{0}^{\pi/2}(-\cos x)\sin^{n-1}x dx\\[0.7em]
&= \left[-\cos x \sin^{n-1}x\right]_{0}^{\pi/2}+(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-1}x\cos^{2}xdx\\[0.7em]
&= (n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x(1-\sin^{2}x)dx\\[0.7em]
&= (n-1)\left\{\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}xdx - \int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}xdx\right\}
= (n-2)(I_{n-2}-I_{n})
\end{align}
I_{n}
&= \int_{0}^{\pi/2}(-\cos x)\sin^{n-1}x dx\\[0.7em]
&= \left[-\cos x \sin^{n-1}x\right]_{0}^{\pi/2}+(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-1}x\cos^{2}xdx\\[0.7em]
&= (n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x(1-\sin^{2}x)dx\\[0.7em]
&= (n-1)\left\{\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}xdx - \int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}xdx\right\}
= (n-2)(I_{n-2}-I_{n})
\end{align}
となるため，
\begin{align}
I_{n} &= \frac{n-1}{n}I_{n-2}\label{漸化式}
\end{align}
I_{n} &= \frac{n-1}{n}I_{n-2}\label{漸化式}
\end{align}
が得られます。また，初項は
\begin{align}
I_{0} = \int_{0}^{\pi/2}dx = \frac{\pi}{2},\quad
I_{1} = \int_{0}^{\pi/2}\sin xdx = 1
\end{align}
I_{0} = \int_{0}^{\pi/2}dx = \frac{\pi}{2},\quad
I_{1} = \int_{0}^{\pi/2}\sin xdx = 1
\end{align}
となるため，漸化式($\ref{漸化式}$)を計算することで式($\ref{主題}$)が得られます。
具体例
\begin{align}
J &= \int_{0}^{a}x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx\quad(a>0)
\end{align}
J &= \int_{0}^{a}x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx\quad(a>0)
\end{align}
解答
$0\leq t<\pi$に対し$x=a\sin t$とおくと，
\begin{align}
J
&= \int_{0}^{\pi/2}a^{2}\sin^{2}t\sqrt{a^{2}(1-\sin^{2}t)}(a\cos t dt)\\[0.7em]
&= a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2} t\cos^{2}t dt
= a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2} t(1-\sin^{2}t) dt\\[0.7em]
&= a^{4}\left\{\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2} tdt - \int_{0}^{\pi/2}\sin^{4}t dt\right\}\\[0.7em]
&= a^{4}(I_{2}-I_{4})
= a^{4}I_{2}\left(1-\frac{3}{4}\right)
= \frac{a^{4}}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}
= \frac{\pi}{16}a^{4}
\end{align}
J
&= \int_{0}^{\pi/2}a^{2}\sin^{2}t\sqrt{a^{2}(1-\sin^{2}t)}(a\cos t dt)\\[0.7em]
&= a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2} t\cos^{2}t dt
= a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2} t(1-\sin^{2}t) dt\\[0.7em]
&= a^{4}\left\{\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2} tdt - \int_{0}^{\pi/2}\sin^{4}t dt\right\}\\[0.7em]
&= a^{4}(I_{2}-I_{4})
= a^{4}I_{2}\left(1-\frac{3}{4}\right)
= \frac{a^{4}}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}
= \frac{\pi}{16}a^{4}
\end{align}
が得られます。
ウォリスの公式同士の差は共通項で括り出すと計算が楽になります。
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