本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
スターリングの公式の活用
$n!$の極限を考える際にスターリングの公式を活用することを考える。$n\rarr\infty$のとき，
\begin{align}
n! &\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}
\end{align}
n! &\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}
\end{align}
と近似できる。
証明は省略しますが，覚えておいて損はしない公式です。
具体例
次の極限値を求めよ。
\begin{align}
\lim_{n\rarr\infty}\frac{\sqrt[n]{(2n-1)!!}}{n}
\end{align}
\lim_{n\rarr\infty}\frac{\sqrt[n]{(2n-1)!!}}{n}
\end{align}
解答
与えられた関数にスターリングの公式を適用すると，
\begin{align}
\lim_{n\rarr\infty}\frac{\sqrt[n]{(2n-1)!!}}{n}
&= \lim_{n\rarr\infty}\frac{\sqrt[n]{(2n-1)\cdot(2n-3)\cdots 3\cdot 1}}{n}\\[0.7em]
&= \lim_{n\rarr\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{2n\cdot\{2(n-1)\}\cdots 4\cdot 2}}
= \lim_{n\rarr\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{2^{n}\cdot n!}}\\[0.7em]
&\sim \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{\sqrt{4\pi n}(2n/e)^{2n}}{2^{n}\cdot \sqrt{2\pi n}(n/e)^{n}}}
= \frac{1}{n}\sqrt[n]{2^{n}\sqrt{2}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}}\\[0.7em]
&= \frac{2}{e}\cdot(2^{1/2})^{1/n} = \frac{2}{e}\cdot 2^{1/(2n)}\sim \frac{2}{e}
\end{align}
\lim_{n\rarr\infty}\frac{\sqrt[n]{(2n-1)!!}}{n}
&= \lim_{n\rarr\infty}\frac{\sqrt[n]{(2n-1)\cdot(2n-3)\cdots 3\cdot 1}}{n}\\[0.7em]
&= \lim_{n\rarr\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{2n\cdot\{2(n-1)\}\cdots 4\cdot 2}}
= \lim_{n\rarr\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{2^{n}\cdot n!}}\\[0.7em]
&\sim \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{\sqrt{4\pi n}(2n/e)^{2n}}{2^{n}\cdot \sqrt{2\pi n}(n/e)^{n}}}
= \frac{1}{n}\sqrt[n]{2^{n}\sqrt{2}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}}\\[0.7em]
&= \frac{2}{e}\cdot(2^{1/2})^{1/n} = \frac{2}{e}\cdot 2^{1/(2n)}\sim \frac{2}{e}
\end{align}
となります。ただし，$n\rarr\infty$のとき$2^{1/(2n)}\sim 1$を利用しました。
別解
区分求積法を用いても極限値を求められます。与えられた式を変形すると
\begin{align}
\frac{\sqrt[n]{(2n-1)!!}}{n}
&= \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{(2n)!!}}
= \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{1\cdot 2\cdots 2n}{2\cdot 4\cdots 2n}}\\[0.7em]
&= \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{1\cdot 2\cdots 2n}{n^{2n}}\cdot\frac{n^{n}}{2\cdot 4\cdots 2n}\cdot n^{n}}\\[0.7em]
&= \sqrt[n]{\frac{1\cdot 2\cdots 2n}{n^{2n}}\cdot\frac{n^{n}}{2\cdot 4\cdots 2n}}\\[0.7em]
&= \sqrt[n]{\frac{1\cdot 2\cdots 2n}{n\cdot n\cdots n}\cdot\frac{n\cdot n\cdots n}{2\cdot 4\cdots 2n}}\\[0.7em]
&= \sqrt[n]{\left(\prod_{k=1}^{2n}\frac{k}{n}\right)\cdot\left(\prod_{k=1}^{n}\frac{n}{2k}\right)}
\end{align}
\frac{\sqrt[n]{(2n-1)!!}}{n}
&= \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{(2n)!!}}
= \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{1\cdot 2\cdots 2n}{2\cdot 4\cdots 2n}}\\[0.7em]
&= \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{1\cdot 2\cdots 2n}{n^{2n}}\cdot\frac{n^{n}}{2\cdot 4\cdots 2n}\cdot n^{n}}\\[0.7em]
&= \sqrt[n]{\frac{1\cdot 2\cdots 2n}{n^{2n}}\cdot\frac{n^{n}}{2\cdot 4\cdots 2n}}\\[0.7em]
&= \sqrt[n]{\frac{1\cdot 2\cdots 2n}{n\cdot n\cdots n}\cdot\frac{n\cdot n\cdots n}{2\cdot 4\cdots 2n}}\\[0.7em]
&= \sqrt[n]{\left(\prod_{k=1}^{2n}\frac{k}{n}\right)\cdot\left(\prod_{k=1}^{n}\frac{n}{2k}\right)}
\end{align}
となります。$k/n$の総和を出現させるために対数を取ると
\begin{align}
\log\frac{\sqrt[n]{(2n-1)!!}}{n}
&= \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{2n}\frac{k}{n}\right)
-\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}2\cdot \frac{k}{n}\right)
\end{align}
\log\frac{\sqrt[n]{(2n-1)!!}}{n}
&= \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{2n}\frac{k}{n}\right)
-\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}2\cdot \frac{k}{n}\right)
\end{align}
となるため，区分求積法より
\begin{align}
\lim_{n\rarr\infty}\log\frac{\sqrt[n]{(2n-1)!!}}{n}
&= \int_{0}^{2}\log x dx - \int_{0}^{1}\log(2x)dx\\[0.7em]
&= \left[x\log x-x\right]_{0}^{2}-\left[x\log (2x)-x\right]_{0}^{1}\\[0.7em]
&= (2\log 2-2)-(\log 2-1) = \log 2 - 1 = \log \frac{2}{e}
\end{align}
\lim_{n\rarr\infty}\log\frac{\sqrt[n]{(2n-1)!!}}{n}
&= \int_{0}^{2}\log x dx - \int_{0}^{1}\log(2x)dx\\[0.7em]
&= \left[x\log x-x\right]_{0}^{2}-\left[x\log (2x)-x\right]_{0}^{1}\\[0.7em]
&= (2\log 2-2)-(\log 2-1) = \log 2 - 1 = \log \frac{2}{e}
\end{align}
が得られます。したがって，求める答えは$2/e$となります。ただし，
\begin{align}
\lim_{x\rarr 0}x\log x
&= \lim_{y\rarr \infty}\frac{1}{y}\log\frac{1}{y}
= \lim_{y\rarr \infty}\frac{-\log y}{y} = 0
\end{align}
\lim_{x\rarr 0}x\log x
&= \lim_{y\rarr \infty}\frac{1}{y}\log\frac{1}{y}
= \lim_{y\rarr \infty}\frac{-\log y}{y} = 0
\end{align}
を利用しました。
$\log(2x)$の積分は$2x\log(2x)-2x$ではなく$x\log(2x)-x$となる点に注意してください。
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