本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
スペクトル分解の求め方
$n$次複素計量空間$V$上の任意の正方行列$A$は
A &= \sum_{i=1}^{N}\lambda_{i}P_{\lambda_{i}}
\end{align}
のように分解できる。ただし，$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{N}$は$A$の固有値を表し，$P_{\lambda_{i}}$は固有値$\lambda_{i}$の固有空間$W_{\lambda_{i}}$への射影行列を表す。スペクトル分解を求める際は，$P_{\lambda_{i}}$が「$W_{\lambda_{i}}$の成分を抽出する操作」に相当することに注意して，正規化した固有ベクトルを並べた行列$U=(\vu_{1},\ldots,\vu_{n})$に適用すると
P_{\lambda_{1}}U = (\vu_{1},\vzero,\ldots,\vzero),\quad\cdots,\quad
P_{\lambda_{n}}U = (\vzero,\ldots,\vu_{n})
\end{align}
となることを利用し，$U$が直交行列であることから
P_{\lambda_{1}} = (\vu_{1},\vzero,\ldots,\vzero)U^{T},\quad\cdots,\quad
P_{\lambda_{n}} = (\vzero,\ldots,\vu_{n})U^{T}\label{主題}
\end{align}
として$P_{\lambda_{1}},\ldots,P_{\lambda_{n}}$を得ることができる。
「射影」は直交補空間への写像のことを表すため，$U$は直交基底から構成された直交行列でなくてはなりません。重解の場合は式($\ref{主題}$)の右辺で重複度だけ$0$でないベクトルが存在するため注意してください。
具体例
次の行列のスペクトル分解を求めよ。
A &=
\begin{pmatrix}
4 & 2 & -1\\
2 & 1 & 2\\
-1 & 2 & 4
\end{pmatrix}
\end{align}
解答
固有多項式を計算すると
\begin{vmatrix}
4-\lambda & 2 & -1\\
2 & 1-\lambda & 2\\
-1 & 2 & 4-\lambda
\end{vmatrix}
&= -(\lambda+1)(\lambda-5)^{2}
\end{align}
となるため，$A$の固有値は$\lambda=-1,5$ (重解)となります。便宜上，$(\lambda_{1},\lambda_{2})=(5,-1)$とします。$\dim(W(5))=2$よりこの行列は対角化可能で，固有ベクトルは
\vu=\frac{1}{\sqrt{5}}
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
0
\end{pmatrix},\quad
\vv=\frac{1}{\sqrt{30}}
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
5
\end{pmatrix},\quad
\vw=\frac{1}{\sqrt{6}}
\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
1
\end{pmatrix}
\end{align}
となります。ただし，$W(5)$の正規直交基底を$\left<\vu,\vv\right>$，$W(-1)$の正規直交基底を$\left<\vw\right>$とおきました。したがって，正規直交基底による直交行列は
U &= \frac{1}{\sqrt{30}}
\begin{pmatrix}
2\sqrt{6} & -1 & \sqrt{5}\\
\sqrt{6} & 2 & -2\sqrt{5}\\
0 & 5 & \sqrt{5}\\
\end{pmatrix}
\end{align}
となります。式($\ref{主題}$)の$\vu$に関する条件より$P_{\lambda_{1}}$を求めます。
P_{\lambda_{1}}
&= (\vu, \vv, \vzero)U^{T}
= \frac{1}{\sqrt{30}}
\begin{pmatrix}
2/\sqrt{5} & -1/\sqrt{30} & 0\\
1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{30} & 0\\
0 & 5/\sqrt{30} & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2\sqrt{6} & \sqrt{6} & 0\\
-1 & 2 & 5\\
\sqrt{5} & -2\sqrt{5} & \sqrt{5}
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&= \frac{1}{30}
\begin{pmatrix}
2\sqrt{6} & -1 & 0\\
\sqrt{6} & 2 & 0\\
0 & 5 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2\sqrt{6} & \sqrt{6} & 0\\
-1 & 2 & 5\\
\sqrt{5} & -2\sqrt{5} & \sqrt{5}
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&= \frac{1}{30}
\begin{pmatrix}
25 & 10 & -5\\
10 & 10 & 10\\
-5 & 10 & 25
\end{pmatrix}
= \frac{1}{6}
\begin{pmatrix}
5 & 2 & -1\\
2 & 2 & 2\\
-1 & 2 & 5
\end{pmatrix}
\end{align}
同様に，式($\ref{主題}$)の$\vw$に関する条件より$P_{\lambda_{2}}$を求めます。
P_{\lambda_{1}}
&= (\vzero,\vzero,\vw)U^{T}
= \frac{1}{\sqrt{30}}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1/\sqrt{6}\\
0 & 0 & -2/\sqrt{6}\\
0 & 0 & 1/\sqrt{6}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2\sqrt{6} & \sqrt{6} & 0\\
-1 & 2 & 5\\
\sqrt{5} & -2\sqrt{5} & \sqrt{5}
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&= \frac{1}{30}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \sqrt{5}\\
0 & 0 & -2\sqrt{5}\\
0 & 0 & \sqrt{5}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2\sqrt{6} & \sqrt{6} & 0\\
-1 & 2 & 5\\
\sqrt{5} & -2\sqrt{5} & \sqrt{5}
\end{pmatrix}\\[0.7em]
&= \frac{1}{30}
\begin{pmatrix}
5 & -10 & 5\\
-10 & 20 & -10\\
5 & -10 & 5
\end{pmatrix}
= \frac{1}{6}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1\\
-2 & 4 & -2\\
1 & -2 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
以上より，求めるスペクトル分解は
A &= \lambda_{1}P_{\lambda_{1}}+\lambda_{2}P_{\lambda_{2}}
=
\frac{5}{6}
\begin{pmatrix}
5 & 2 & -1\\
2 & 2 & 2\\
-1 & 2 & 5
\end{pmatrix}
-
\frac{1}{6}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1\\
-2 & 4 & -2\\
1 & -2 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
となります。
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