本記事では，数学検定1級で頻出のトピックについてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
行列式の求め方の定石
- 準三角行列であるか確認する
- 対称的なブロック行列がないか確認する
- 行列積で表せないか確認する
いずれも満たさなかった場合は余因子展開を利用する。
何も思いつかなければ余因子展開で求めてしまえばよいでしょう。
詳細
準三角行列であった場合は
\begin{align}
\begin{vmatrix}
A & C\\
O & B
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
A & O\\
C & B
\end{vmatrix}
= |A||B|
\end{align}
\begin{vmatrix}
A & C\\
O & B
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
A & O\\
C & B
\end{vmatrix}
= |A||B|
\end{align}
を利用し，対称的なブロック行列があった場合は
\begin{align}
\begin{vmatrix}
A & B\\
B & A
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
A+B & B\\
B+A & A
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
A+B & B\\
O & A-B
\end{vmatrix}
=|A+B||A-B|\\[0.7em]
\begin{vmatrix}
A & B\\
-B & A
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
A+iB & B\\
-B+iA & A
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
A+iB & B\\
O & A-iB
\end{vmatrix}
=|A+iB||A-iB|
\end{align}
\begin{vmatrix}
A & B\\
B & A
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
A+B & B\\
B+A & A
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
A+B & B\\
O & A-B
\end{vmatrix}
=|A+B||A-B|\\[0.7em]
\begin{vmatrix}
A & B\\
-B & A
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
A+iB & B\\
-B+iA & A
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
A+iB & B\\
O & A-iB
\end{vmatrix}
=|A+iB||A-iB|
\end{align}
を利用し，行列の積で表せた場合は
\begin{align}
|AB| &= |A||B|
\end{align}
|AB| &= |A||B|
\end{align}
を利用します。ただし，準対称行列で
\begin{align}
\begin{vmatrix}
A & B\\
B & A
\end{vmatrix}
&= |A^{2} - B^{2}|
\end{align}
\begin{vmatrix}
A & B\\
B & A
\end{vmatrix}
&= |A^{2} - B^{2}|
\end{align}
としないように十分注意してください。
$A$と$B$が可換である場合に成り立ちます。
具体例
下記の行列式を求めよ。ただし，サラスの公式は使わないこと。
\begin{align}
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5 & 8\\
4 & 2 & 7 & 3\\
3 & 7 & 2 & 4\\
8 & 5 & 2 & 1
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
a & b & c & d\\
b & a & d & c\\
c & d & a & b\\
d & c & b & a
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
5x_{2}{+}2x_{3} & 4x_{3}{-}x_{1} & 3x_{1}{+}x_{2}\\
5y_{2}{+}2y_{3} & 4y_{3}{-}y_{1} & 3y_{1}{+}y_{2}\\
5z_{2}{+}2z_{3} & 4z_{3}{-}z_{1} & 3z_{1}{+}z_{2}
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\
1 & 5 & 1\\
-6 & 11 & -10
\end{vmatrix}
\end{align}
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5 & 8\\
4 & 2 & 7 & 3\\
3 & 7 & 2 & 4\\
8 & 5 & 2 & 1
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
a & b & c & d\\
b & a & d & c\\
c & d & a & b\\
d & c & b & a
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
5x_{2}{+}2x_{3} & 4x_{3}{-}x_{1} & 3x_{1}{+}x_{2}\\
5y_{2}{+}2y_{3} & 4y_{3}{-}y_{1} & 3y_{1}{+}y_{2}\\
5z_{2}{+}2z_{3} & 4z_{3}{-}z_{1} & 3z_{1}{+}z_{2}
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\
1 & 5 & 1\\
-6 & 11 & -10
\end{vmatrix}
\end{align}
解答
一つ目の行列式について
\begin{align}
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5 & 8\\
4 & 2 & 7 & 3\\
3 & 7 & 2 & 4\\
8 & 5 & 2 & 1
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5 & 8\\
4 & 2 & 7 & 3\\
7 & 9 & 9 & 7\\
9 & 7 & 7 & 9
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
-7 & -3 & 5 & 8\\
1 & -5 & 7 & 3\\
0 & 0 & 9 & 7\\
0 & 0 & 7 & 9
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{vmatrix}
-7 & -3 \\
1 & -5
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
9 & 7\\
7 & 9
\end{vmatrix}
= 38\cdot 32 = 1216
\end{align}
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5 & 8\\
4 & 2 & 7 & 3\\
3 & 7 & 2 & 4\\
8 & 5 & 2 & 1
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5 & 8\\
4 & 2 & 7 & 3\\
7 & 9 & 9 & 7\\
9 & 7 & 7 & 9
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
-7 & -3 & 5 & 8\\
1 & -5 & 7 & 3\\
0 & 0 & 9 & 7\\
0 & 0 & 7 & 9
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{vmatrix}
-7 & -3 \\
1 & -5
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
9 & 7\\
7 & 9
\end{vmatrix}
= 38\cdot 32 = 1216
\end{align}
二つ目の行列式について
\begin{align}
\begin{vmatrix}
a & b & c & d\\
b & a & d & c\\
c & d & a & b\\
d & c & b & a
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
a+c & b+d\\
b+d & a+c
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a-c & b-d\\
b-d & a-c
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&=
\left\{(a+c)^{2}-(b+d)^{2}\right\}
\left\{(a-c)^{2}-(b-d)^{2}\right\}\\[0.7em]
&=
(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)
\end{align}
\begin{vmatrix}
a & b & c & d\\
b & a & d & c\\
c & d & a & b\\
d & c & b & a
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
a+c & b+d\\
b+d & a+c
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a-c & b-d\\
b-d & a-c
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&=
\left\{(a+c)^{2}-(b+d)^{2}\right\}
\left\{(a-c)^{2}-(b-d)^{2}\right\}\\[0.7em]
&=
(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)
\end{align}
三つ目の行列式について
\begin{align}
\begin{vmatrix}
5x_{2}{+}2x_{3} & 4x_{3}{-}x_{1} & 3x_{1}{+}x_{2}\\
5y_{2}{+}2y_{3} & 4y_{3}{-}y_{1} & 3y_{1}{+}y_{2}\\
5z_{2}{+}2z_{3} & 4z_{3}{-}z_{1} & 3z_{1}{+}z_{2}
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2} & x_{3}\\
y_{1} & y_{2} & y_{3}\\
z_{1} & z_{2} & z_{3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 3\\
5 & 0 & 1\\
2 & 4 & 0
\end{pmatrix}
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{vmatrix}
0 & -1 & 3\\
5 & 0 & 1\\
2 & 4 & 0
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} & x_{3}\\
y_{1} & y_{2} & y_{3}\\
z_{1} & z_{2} & z_{3}
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&=
58
\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} & x_{3}\\
y_{1} & y_{2} & y_{3}\\
z_{1} & z_{2} & z_{3}
\end{vmatrix}
\end{align}
\begin{vmatrix}
5x_{2}{+}2x_{3} & 4x_{3}{-}x_{1} & 3x_{1}{+}x_{2}\\
5y_{2}{+}2y_{3} & 4y_{3}{-}y_{1} & 3y_{1}{+}y_{2}\\
5z_{2}{+}2z_{3} & 4z_{3}{-}z_{1} & 3z_{1}{+}z_{2}
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2} & x_{3}\\
y_{1} & y_{2} & y_{3}\\
z_{1} & z_{2} & z_{3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 3\\
5 & 0 & 1\\
2 & 4 & 0
\end{pmatrix}
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&=
\begin{vmatrix}
0 & -1 & 3\\
5 & 0 & 1\\
2 & 4 & 0
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} & x_{3}\\
y_{1} & y_{2} & y_{3}\\
z_{1} & z_{2} & z_{3}
\end{vmatrix}\\[0.7em]
&=
58
\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} & x_{3}\\
y_{1} & y_{2} & y_{3}\\
z_{1} & z_{2} & z_{3}
\end{vmatrix}
\end{align}
四つ目の行列式について
\begin{align}
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\
1 & 5 & 1\\
-6 & 11 & -10
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\
0 & 4 & -1\\
0 & 17 & 2
\end{vmatrix}
= 1\cdot (-1)^{1+1}
\begin{vmatrix}
4 & -1\\
17 & 2
\end{vmatrix}
= 25
\end{align}
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\
1 & 5 & 1\\
-6 & 11 & -10
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\
0 & 4 & -1\\
0 & 17 & 2
\end{vmatrix}
= 1\cdot (-1)^{1+1}
\begin{vmatrix}
4 & -1\\
17 & 2
\end{vmatrix}
= 25
\end{align}
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