本記事では，数学検定1級で頻出の注意するべき行列式の性質についてまとめていきます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
注意するべき行列式の性質
- 転置しても値は不変
- 行または列を入れ替えると値は$(-1)$倍になる（交代性）
- $2$つの行または列が比例していると値は$0$になる
- ある行または列が$2$つのベクトルの和のとき，値はそれぞれのベクトルを行または列とする$2$つの行列式の和になる（多重共線性）
$(-1)$倍になる交換操作だけ「例外」として覚えておきましょう。
具体例
下記の行列式を求めよ。
\begin{align}
\begin{vmatrix}
2a + 5b & b & a\\
2b + 5c & c & b\\
2c + 5a & a & c
\end{vmatrix}
\end{align}
\begin{vmatrix}
2a + 5b & b & a\\
2b + 5c & c & b\\
2c + 5a & a & c
\end{vmatrix}
\end{align}
解答
\begin{align}
\begin{vmatrix}
2a + 5b & b & a\\
2b + 5c & c & b\\
2c + 5a & a & c
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
2a & b & a\\
2b & c & b\\
2c & a & c
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
5b & b & a\\
5c & c & b\\
5a & a & c
\end{vmatrix}
= 0 + 0
\end{align}
\begin{vmatrix}
2a + 5b & b & a\\
2b + 5c & c & b\\
2c + 5a & a & c
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
2a & b & a\\
2b & c & b\\
2c & a & c
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
5b & b & a\\
5c & c & b\\
5a & a & c
\end{vmatrix}
= 0 + 0
\end{align}
ただし，行列式で$2$つの行または列が比例しているときは行列式の値は$0$になることを利用しました。
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