【これなら分かる!】標準正規分布とは

zuka

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標準正規分布

確率変数$X \sim \N (\mu, \sigma^2)$に対して,

\begin{align}
Z &= \frac{X-\mu}{\sigma}
\end{align}

とおいたときに,$Z$が従う分布$\N (0, 1)$を標準正規分布と呼びます。正規分布を変数変換によって標準化した分布です。標準分布には再生性があります。ロードマップ中では,標準正規分布は正規分布を標準化したもの相当します。 以下では,$X \in \bbR$,$T \in \bbR$とします。

\begin{align}
f_{X}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{ -\frac{1}{2} x^2 \right\} \\[0.7em]
M_{X}(t) &= \exp \left(\frac{1}{2}t^2 \right) \\[0.7em]
E[X] &= 0 \\[0.7em]
V[X] &= 1
\end{align}

確率密度関数

正規分布を$\mathcal{N}(\mu, \sigma)$と表せば,標準正規分布の定義は$\mathcal{N}(0, 1)$です。具体的には,

\begin{align}
Z&=\frac{X-\mu}{\sigma}
\end{align}

と標準化と呼ばれる変数変換を施すことで,$\mathcal{N}(0, 1)$に対応する確率密度関数を得ることができます。$\mu=0, \sigma=1$を正規分布の確率密度関数に代入すればOKです。

\begin{align}
f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
\end{align}

正規分布のページでは正規分布を「二項分布の極限としての証明」と「ガウスによる証明」の2通りで導出しています。また,ポアソン分布のページではポアソン分布の極限が正規分布になることを示しています。

モーメント母関数

$\mu=0, \sigma=1$を正規分布のモーメント母関数に代入すればOKです。

\begin{align}
M(t) &= e^{\frac{t^2}{2}}
\end{align}

平均・分散

$\mu=0, \sigma=1$を正規分布の平均・分散に代入すればOKです。

\begin{align}
E[X] &= 0 \\[0.7em]
V[X] &= 1
\end{align}

再生性

再生性を示すためには,再生性を示したい分布に従う独立な二つの確率変数を考え,その和のモーメント母関数(離散分布の場合はモーメント母関数)を計算したときに,パラメータが和の形になっていることを示します。

正規分布が再生性をもちますので,その特殊な場合の標準正規分布も再生性をもちます。モーメント母関数の形をみても明らかだと思います。

ロードマップ

確率分布のロードマップ

さて,ロードマップに戻りましょう。 標準正規分布は,正規分布を標準化して得られる確率分布でしたね。特に標準正規分布は,ここから$T$分布や$\chi^2$分布にも繋がってくる非常に重要な分布になっています。

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