【これなら分かる!】幾何分布とは

zuka

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本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

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幾何分布

無限に続くベルヌーイ試行において,成功するまでの失敗の回数$X$は幾何分布に従います。幾何分布に再生性はありません。ロードマップ中では,幾何分布は負の二項分布の特殊な場合に相当します。以下では,$X\in\{0, \ldots, n\}$とします。

\begin{align}
f_{X}(x) &= p(1-p)^x \\[0.7em]
G_{X}(s) &= \frac{p}{1-(1-p)s} \\[0.7em]
E[X] &= \frac{1-p}{p}\\[0.7em]
V[X] &= \frac{1-p}{p^2}
\end{align}

確率密度関数

幾何分布はコイントスで「初めて表が出るまでの失敗の回数」を確率変数とする分布です。この定義から,以下の確率密度関数は自然に導かれます。

\begin{align}
P(X=x) &= p(1-p)^x\quad (x=0,1,\cdots)
\end{align}

確率母関数

確率母関数の定義に従って計算していきます。等比級数の公式を利用します。

\begin{align}
G(s; p) &= E[s^x]\\[0.7em]
&= \sum_{x=0}^{\infty} s^x\cdot p(1-p)^x\\[0.7em]
&= p\cdot \frac{1}{1-s(1-p)}\\[0.7em]
&= \frac{p}{1-(1-p)s}
\end{align}

平均・分散

離散分布の平均と分散を求める際には「確率母関数の性質」(連続分布の平均と分散を求める際には「モーメント母関数の性質」)を利用します。

\begin{align}
E[X] &= \left.\frac{d G(s;\lambda)}{d s}\right|{s=1}\\[0.7em]
&= \left. \frac{p(1-p)}{\left\{1-(1-p)s\right\}^2 } \right|{s=1}\\[0.7em]
&= \frac{1-p}{p}\\[0.7em]
E[X(X-1)] &= \left.\frac{d^2 G(s;\lambda)}{d s^2}\right|{s=1}\\[0.7em]
&= \left. \frac{2p(1-p)^2}{\left\{1-(1-p)s\right\}^3 } \right|{s=1}\\[0.7em]
&= \frac{2(1-p)^2}{p^2}\\[0.7em]
V[X] &= E[X^2] – E[X]^2\\[0.7em]
&= E[X(X-1)] + E[X] – E[X]^2\\[0.7em]
&= \frac{2(1-p)^2}{p^2} + \frac{1-p}{p} – \frac{(1-p)^2}{p^2}\\[0.7em]
&= \frac{1-p}{p^2}
\end{align}

再生性

再生性を示すためには,再生性を示したい分布に従う独立な二つの確率変数を考え,その和のモーメント母関数(離散分布の場合はモーメント母関数)を計算したときに,パラメータが和の形になっていることを示します。

幾何分布は再生性をもちません。なぜなら,幾何分布が「初めて表が出るまでの回数」であるのに対し,「$r$回表が出るまでの失敗の回数」まで拡張した分布が次に説明する負の二項分布であり,幾何分布に従う独立な2つの変数の和は$r=2$の負の二項分布に従うからです。確率変数の和が別の確率分布に従うときは,再生性をもつとはいいません。

ロードマップ

確率分布のロードマップ

さて,ロードマップに戻りましょう。 幾何分布は,無限に続くベルヌーイ試行として定義されました。また,後にお伝えするように,負の二項定理の特殊な場合に相当します。

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