【これなら分かる!】離散一様分布とは

zuka

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離散一様分布

全ての事象の起こる確率が等しい分布を一様分布と呼びます。特に,確率変数が離散型の場合は離散一様分布と呼びます。離散一様分布には再生性はありません。ロードマップ中では,離散一様分布はベータ分布の特殊な場合に相当しています。以下では,$X \in \{0, \ldots, n\}$とします。

\begin{align}
f_{X}(x) &= \frac{1}{n} \\[0.7em]
G_X(s) &= \frac{s(1-s^{n})}{n(1-s)} \\[0.7em]
E[X] &= \frac{n + 1}{2} \\[0.7em]
V[X] &= \frac{n^2-1}{12}
\end{align}

確率質量関数

離散一様分布は全ての事象の起こる確率が等しい分布ですので,確率質量関数は直感的に導かれます。

\begin{align}
f_{X}(x) &= P(X=x) \\[0.7em]
&= \frac{1}{n}
\end{align}

ただし,$x=1,\cdots,n$とします。

確率母関数

確率母関数の定義に従って計算していきます。高校数学の等比級数の公式を利用します。

\begin{align}
G_{X}(s) &= E[s^{x}] \\[0.7em]
&= \sum_{x=1}^{n}P(X=x)\cdot s^{x} \\[0.7em]
&= \frac{1}{n}\cdot \frac{s(1-s^n)}{1-s} \\[0.7em]
&= \frac{s}{n} \frac{1-s^{n}}{1-s}
\end{align}

平均・分散

離散分布の平均と分散を求める際には「確率母関数の性質」を利用します。しかし,離散一様分布の場合は確率母関数を利用するとかえって煩雑な計算になってしまうため,平均・分散の定義に従って求めていきます。こちらも高校数学の和の公式や二乗和の公式を利用します。

\begin{align}
E[X] &= \sum_{x=1}^{n}P(X=x)\cdot x \\[0.7em]
&= \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{2}n(n+1) \\[0.7em]
&= \frac{n+1}{2} \\[0.7em]
E[X^2] &= \sum_{x=1}^{n}P(X=x)\cdot x^2 \\[0.7em]
&= \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\[0.7em]
&= \frac{1}{6}(n+1)(2n+1) \\[0.7em]
E[X]^2 &= \frac{(n+1)^2}{4} \\[0.7em]
V[X] &= E[X^2] – E[X]^2 \\[0.7em]
&= \frac{1}{6}(n+1)(2n+1) – \frac{(n+1)^2}{4} \\[0.7em]
&= \frac{n^2-1}{12}
\end{align}

再生性

再生性を示すためには,再生性を示したい分布に従う独立な二つの確率変数を考え,その和のモーメント母関数(離散分布の場合はモーメント母関数)を計算したときに,パラメータが和の形になっていることを示します。

離散一様分布の確率母関数の形から再生性を持たないことが分かります。実際に計算してみても,和の確率母関数のパラメータは和の形になっていませんので,再生性は持ちません。

\begin{align}
G_{X+Y}(s) &= G_{X}(s) \cdot G_{Y}(s) \\[0.7em]
&= \frac{s}{m} \frac{1-s^{m}}{1-s} \cdot \frac{s}{n} \frac{1-s^{n}}{1-s} \\[0.7em]
&\neq \frac{s}{m + n} \frac{1-s^{m + n}}{1-s}
\end{align}

ロードマップ

確率分布のロードマップ

さて,ロードマップに戻りましょう。 一様分布がベータ分布の特殊な場合であることは,ベータ分布のページで示しています。一様分布は,ロードマップの中での位置付けというのはさほど重要ではなく,情報を持たない(ただし「確率が等しい」という情報はもつ)確率分布としてベイズ統計で利用されています。

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