【これなら分かる!】連続一様分布とは

zuka

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本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

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連続一様分布

連続型確率変数をとる一様分布は,以下のように表されます。連続一様分布には再生性はありません。ロードマップ中では,離散一様分布同様に幾何分布の特殊な場合に相当します。以下では,$a \leq X \leq b$とします。

\begin{align}
f_{X}(x) &= \frac{1}{b-a} \\[0.7em]
M_{X}(t) &= \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} \\[0.7em]
E[X] &= \frac{b+a}{2}\\[0.7em]
V[X] &= \frac{(b-a)^2}{12}
\end{align}

確率密度関数

連続一様分布はすべての事象の起こる確率が等しい確率分布ですので,以下の確率密度関数は自然に導かれます。

\begin{align}
f(x;a,b) &=
\begin{cases}
(b-a)^{-1} &(a\leq x \leq b) \\[0.7em]
0 & (\text{その他})
\end{cases}
\end{align}

モーメント母関数

モーメント母関数の定義に従って計算していきます。

\begin{align}
M(t, a, b) &= E[e^{tX}] \\[0.7em]
&= \int_{a}^{b} e^{tx} (b – a)^{-1} dx \\[0.7em]
&= \frac{e^{tb} – e^{ta}}{t(b-a)}
\end{align}

平均・分散

連続分布の平均と分散を求める際には「モーメント母関数の性質」(離散分布の平均と分散を求める際には「確率母関数の性質」)を利用します。

しかし,連続一様分布の平均と分散は定義に従って計算した方が簡単です。

\begin{align}
E[X] &= \int_{a}^b x(b-a)^{-1} dx \\[0.7em]
&= \frac{1}{b-a} \frac{b^2 – a^2}{2} \\[0.7em]
&= \frac{b + a}{2} \\[0.7em]
E[X^2] &= \int_{a}^b x^2(b-a)^{-1} dx \\[0.7em]
&= \frac{1}{b-a} \frac{b^3 – a^3}{3} \\[0.7em]
&= \frac{b^2 + ba + a^2}{3} \\[0.7em]
V[X] &= E[X^2] – E[X]^2 \\[0.7em]
&= \frac{b^2 + ba + a^2}{3} – \frac{(b + a)^2}{4} \\[0.7em]
&= \frac{(b – a)^2}{12}
\end{align}

再生性

再生性を示すためには,再生性を示したい分布に従う独立な二つの確率変数を考え,その和のモーメント母関数(離散分布の場合はモーメント母関数)を計算したときに,パラメータが和の形になっていることを示します。

実際に$X + Y$のモーメント母関数を計算してみても分かる通り,連続一様分布は再生性をもちません。

ロードマップ

確率分布のロードマップ

さて,ロードマップに戻りましょう。 一様分布がベータ分布の特殊な場合であることは後ほど示します。一様分布は,ロードマップの中での位置付けというのはさほど重要ではなく,情報を持たない(ただし「確率が等しい」という情報はもつ)確率分布としてベイズ統計では利用されています。

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