【これなら分かる!】ベルヌーイ分布とは

zuka

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ベルヌーイ分布

取り得る結果が成功・失敗の$2$つである試行の結果を表す確率分布をベルヌーイ分布と呼びます。ベルヌーイ分布には再生性があります。ロードマップ中では,ベルヌーイ分布は二項分布において試行回数が$1$回という特殊な場合に相当します。以下では,成功する確率を$p \in (0,1)$,確率変数を$X \in \{0, 1\}$とし,$0$が失敗,$1$が成功を表しているものとします。

\begin{align}
f_{X}(x) &= p^x(1-p)^{1-x} \\[0.7em]
G_{X}(s) &= ps + 1-p \\[0.7em]
E[X] &= p \\[0.7em]
V[X] &= p(1-p)
\end{align}

確率質量関数

一回のコイントスに関して表が出る確率を$p$とします。確率変数は$1$のとき表が出たという事象を,$0$のとき裏が出た事象を表します。このような状況を設定すれば,ベルヌーイ分布の確率質量関数は自然に導かれます。

\begin{align}
f_{X}(x) &= P(X=x) \\[0.7em]
&= p^x(1-p)^{1-x}
\end{align}

ただし,$x=0,1$とします。

確率母関数

確率母関数の定義に従って計算していきます。

\begin{align}
G_{X}(s) &= E[s^x] \\[0.7em]
&= \sum_{x=0}^{1}P(X=x)\cdot s^x \\[0.7em]
&= ps + 1-p \\[0.7em]
&= \frac{e^s}{n} \frac{1-e^{ns}}{1-e^s} \\[0.7em]
&= ps + 1-p
\end{align}

平均・分散

離散分布の平均と分散を求める際には「確率母関数の性質」を利用します。まず,確率母関数の一階微分から$E[X]$を求めます。

\begin{align}
E[X] &= \left.\frac{d G_{X}(s)}{d s}\right|_{s=1} \\[0.7em]
&= p
\end{align}

続いて,確率母関数の二階微分から$E[X(X-1)]$を求めます。

\begin{align}
E[X(X-1)] &= \left.\frac{d^2 G_{X}(s)}{d s^2}\right|_{s=1} \\[0.7em]
&= 0
\end{align}

最後に,分散の定義から分散を求めます。

\begin{align}
V[X] &= E[X^2]-E[X]^2 \\[0.7em]
&= E[X(X-1)] + E[X]-E[X]^2 \\[0.7em]
&= 0 + p-p^2 \\[0.7em]
&= p(1-p)
\end{align}

再生性

再生性を示すためには,再生性を示したい分布に従う独立な二つの確率変数を考え,その和のモーメント母関数(離散分布の場合はモーメント母関数)を計算したときに,パラメータが和の形になっていることを示します。

しかし,ベルヌーイ分布には再生性がないことはすぐ分かります。なぜなら,ベルヌーイ分布に従う2つの確率変数の和は二項分布に従うからです。確率変数の和が別の確率分布に従うときは,再生性をもつとはいいません。

ロードマップ

確率分布のロードマップ

さて,ロードマップに戻りましょう。 ベルヌーイ分布は二項分布と同じ場所に属しています。これは,二項分布において各試行はベルヌーイ分布に従うからです。ロードマップは二項分布を中心に広がっていきますから,最も基本的な分布としてベルヌーイ分布をおさえておきましょう。

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