【これなら分かる!】大数の弱法則の証明

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

内容は統計検定1級に準拠しています。もし不適切な内容や誤植があれば,記事下のコメント欄もしくはお問い合わせフォームよりご連絡いただけますと幸いです。

目次

対数の弱法則

任意の正の実数$\varepsilon$に対して

\begin{align}
P\left( \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^nX_i – \mu \geq \varepsilon \right| \right) \rightarrow 0 \quad (n\rightarrow \infty)
\end{align}

ただし,$X_i\;(i=1,2,\ldots,n)$は同じ分布に従う独立な確率変数であり,$E[X_i]=\mu$とおいた。

証明

チェビシェフの不等式を利用して証明を行なっていきます。$Z=\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{n}$とおけば,「確率変数の性質」のNo.1とNo.2より,$E[Z]$は以下のようになります。

\begin{align}
E[Z] &= E\left[ \frac{\sum_{i=1}^nX_i}{n} \right]\\[0.7em]
&= \frac{E[X_1]}{n} + \frac{E[X_2]}{n} + \cdots + \frac{E[X_n]}{n}\\[0.7em]
&= n\frac{\mu}{n}\\[0.7em]
&= \mu
\end{align}

$V[Z]$についても同様です。$V[X_i]=\sigma^2$とおきます。

\begin{align}
V[Z] &= V\left[\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{n}\right]\\[0.7em]
&= \frac{V[X_1]}{n^2} + \frac{V[X_2]}{n^2} + \cdots + \frac{V[X_n]}{n^2}\\[0.7em]
&= \frac{n\sigma^2}{n^2}\\[0.7em]
&= \frac{\sigma^2}{n}
\end{align}

さて,チェビシェフの不等式に代入していきましょう。

\begin{align}
P\left( \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^nX_i – \mu \geq \epsilon \right| \right) \leq \frac{\sigma^2}{n\epsilon^2}
\end{align}

右辺は$n \rightarrow \infty$のときに$0$に近づきますから,大数の弱法則が成り立つことを示せました。

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