【これなら分かる!】確率変数の性質

zuka

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zuka(@beginaid)です。

本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

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目次

確率変数の性質

確率変数$X$,$Y$と定数$a$,$b$,$c$に対して,次が成り立つ。

\begin{align}
E[aX + bY + c] &= aE[X] + bE[Y] + c \\[0.7em]
V[aX + bY + c] &= a^2V[X] + b^2V[Y] + 2ab \Cov [X, Y] \\[0.7em]
\Cov [aX+bY, cZ] &= ac\Cov[X, Z] + bc\Cov[Y, Z] \\[0.7em]
\end{align}

特に,$X$と$Y$が独立ならば,次が成り立つ。

\begin{align}
E[X Y] &= E[X]E[Y] \\[0.7em]
\Cov [X, Y] &= 0
\end{align}

期待値計算では欠かせない定理です。なんとなく成り立ちそうだというだけで変形してしまいそうな定理ですが,独立であるという条件を見逃してしまうリスクなどもあるため,一度は手計算で成り立つことを確認してください。

証明

4つの命題それぞれについて証明していきます。なお,以下では確率変数が連続型である場合について示します。離散型の場合も積分をシグマに変えるだけで同様に示すことができます。

1の証明

期待値の定義を変形していくだけです。要するに,期待値の線形性は積分の線形性に基づいているということです。

\begin{align}
E[aX + bY + c] &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (ax + by + c)f_{X Y}(x, y) dx dy \\[0.7em]
&= a \int_{-\infty}^{\infty}x \left \{ \int_{-\infty}^{\infty}f_{X Y}(x, y)dy \right \}dx \notag \\[0.7em]
&\quad + b \int_{-\infty}^{\infty}y \left \{ \int_{-\infty}^{\infty}f_{X Y}(x, y)dx \right \}dy \notag \\[0.7em]
&\quad + c \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f_{X Y}(x, y)dxdy \\[0.7em]
&= aE[X] + bE[Y] + c
\end{align}

2の証明

分散の定義を変形していくだけです。

\begin{align}
V[aX + bY + c]
&= E[(aX + bY + c)^2] - { E[aX + bY + c]}^2 \\[0.7em]
&= a^2 E[X^2] + b^2 E[Y^2] + c^2 + 2(abE[X Y] + bcE[Y] + caE[X]) \notag \\[0.7em]
& \quad - \{ a^2 E[X]^2 + b^2E[Y]^2 + c^2 + 2(abE[X]E[Y] + bcE[Y] + caE[X])\} \\[0.7em]
&= a^2(E[X^2] - E[X]^2) + b^2(E[Y^2] - E[X]^2) + 2ab(E[X Y] - E[X]E[Y]) \\[0.7em]
&= a^2V[X] + b^2V[Y] + 2ab \Cov [X, Y]
\end{align}

3の証明

共分散の定義を変形していくだけです。

\begin{align}
\Cov[aX+bY, cZ] &= E[(aX+bY)\cdot cZ] - E[aX+bY]E[cZ] \\[0.7em]
&= E[acXZ+bcYZ] - E[aX+bY]E[cZ] \\[0.7em]
&= ac(E[XZ] - E[X]E[Z]) + bc(E[YZ] - E[Y]E[Z]) \\[0.7em]
&= ac\Cov[X, Z] + bc\Cov[Y, Z]
\end{align}

4の証明

期待値の定義を変形していくだけです。

\begin{align}
E[X Y] &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy f_{X Y}(x, y) dx dy \\[0.7em]
&= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}xy f_{X}(x) f_{Y}(y) dx dy \\[0.7em]
&= \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X}(x) dx \int_{-\infty}^{\infty}y f_{Y}(y) dy \\[0.7em]
&= E[X]E[Y]
\end{align}

5の証明

共分散の定義式を変形していくだけです。

\begin{align}
{\rm Cov}[X, Y] &= E[X Y] - E[X] E[Y] \\[0.7em]
&= E[X] E[Y] - E[X] E[Y] \\[0.7em]
&= 0
\end{align}

参考文献

本稿の執筆にあたり参考にした文献は,以下でリストアップしております。ぜひご参照ください。

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