【これなら分かる!】確率変数の性質の証明

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

内容は統計検定1級に準拠しています。もし不適切な内容や誤植があれば,記事下のコメント欄もしくはお問い合わせフォームよりご連絡いただけますと幸いです。

目次

確率変数の性質

確率変数$X$,$Y$と定数$a$,$b$,$c$に対して,次が成り立つ。

  1. $E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c$
  2. $V[aX + bY + c] = a^2V[X] + b^2V[Y] + 2ab \Cov [X, Y]$
  3. $X$と$Y$が独立ならば$E[X Y] = E[X]E[Y]$
  4. $X$と$Y$が独立ならば$\Cov [X, Y]=0$

証明

4つの命題それぞれについて証明していきます。なお,以下では確率変数が連続型である場合について示します。離散型の場合も積分をシグマに変えるだけで同様に示すことができます。

1. の証明

期待値の定義を変形していくだけです。

\begin{align}
E[aX + bY + c] &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (ax + by + c)f_{X Y}(x, y) dx dy \\[0.7em]
&= a \int_{-\infty}^{\infty}x \left \{ \int_{-\infty}^{\infty}f_{X Y}(x, y)dy \right \}dx \notag \\[0.7em]
&\quad + b \int_{-\infty}^{\infty}y \left \{ \int_{-\infty}^{\infty}f_{X Y}(x, y)dx \right \}dy \notag \\[0.7em]
&\quad + c \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f_{X Y}(x, y)dxdy \\[0.7em]
&= aE[X] + bE[Y] + c
\end{align}

2. の証明

分散の定義を変形していくだけです。

\begin{align}
V[aX + bY + c]
&= E[(aX + bY + c)^2] – { E[aX + bY + c]}^2 \\[0.7em]
&= a^2 E[X^2] + b^2 E[Y^2] + c^2 + 2(abE[X Y] + bcE[Y] + caE[X]) \notag \\[0.7em]
& \quad – \{ a^2 E[X]^2 + b^2E[Y]^2 + c^2 + 2(abE[X]E[Y] + bcE[Y] + caE[X])\} \\[0.7em]
&= a^2(E[X^2] – E[X]^2) + b^2(E[Y^2] – E[X]^2) + 2ab(E[X Y] – E[X]E[Y]) \\[0.7em]
&= a^2V[X] + b^2V[Y] + 2ab {\rm Cov}[X, Y]
\end{align}

3. の証明

期待値の定義を変形していくだけです。

\begin{align}
E[X Y] &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy f_{X Y}(x, y) dx dy \\[0.7em]
&= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}xy f_{X}(x) f_{Y}(y) dx dy \\[0.7em]
&= \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X}(x) dx \int_{-\infty}^{\infty}y f_{Y}(y) dy \\[0.7em]
&= E[X]E[Y]
\end{align}

4. の証明

共分散の定義式をチャチャっといじればOKです。

\begin{align}
{\rm Cov}[X, Y] &= E[X Y] – E[X] E[Y] \\[0.7em]
&= E[X] E[Y] – E[X] E[Y] \\[0.7em]
&= 0
\end{align}

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