【これなら分かる!】確率母関数の性質の証明

zuka

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zuka(@beginaid)です。

本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

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目次

確率母関数の性質

$G_{X}(\cdot)$を$X$の確率母関数とするとき

\begin{align}
G_{X}^{(m)}(1) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}M_{X}(t)\right|_{t=1} \\
&= E\left[X(X-1)\cdots(X-m+1)\right]
\end{align}

証明

\begin{align}
G_{X}^{(m)}(1) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}G_{X}(t)\right|_{t=1} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m}E[t^{x}]\right|_{t=1} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m} \sum_{x=0}^{\infty} t^{x}f_{X}(x)\right|_{t=1}\\[0.7em]
&= \left.\frac{d^{(m-1)}}{dt^{(m-1)}} \sum_{x=0}^{\infty} x t^{x-1}f_{X}(x)\right|_{t=1}\\[0.7em]
&= \cdots \notag \\[0.7em]
&= \left. \sum_{x=0}^{\infty} x^m t^{x-m}f_{X}(x)\right|_{t=1} \\[0.7em]
&= E\left[X(X-1)\cdots(X-m+1)\right]
\end{align}

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