【これなら分かる!】モーメント母関数の性質の証明

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

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目次

モーメント母関数の性質

$M_{X}(\cdot)$を$X$のモーメント母関数とするとき

\begin{align}
M_{X}^{(m)}(0) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}M_{X}(t)\right|_{t=0} \\
&= E\left[X^m\right]
\end{align}

証明

\begin{align}
M_{X}^{(m)}(0) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}M_{X}(t)\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m}E[e^{tX}]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m} \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f_{X}(x)dx\right|_{t=0}\\[0.7em]
&= \left.\frac{d^{(m-1)}}{dt^{(m-1)}} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{tx}f_{X}(x)dx\right|_{t=0}\\[0.7em]
&= \cdots \notag \\[0.7em]
&= \left. \int_{-\infty}^{\infty} x^m e^{tx}f_{X}(x)dx\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \int_{-\infty}^{\infty} x^m f_{X}(x)dx \\[0.7em]
&= E[X^m]
\end{align}

なお,微分演算と期待値の順序交換を利用すれば,より直感的にモーメント母関数の性質を示すことができます。

\begin{align}
M_{X}^{(m)}(0) &\equiv \left.\frac{d^m}{dt^m}M_{X}(t)\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.\frac{d^m}{dt^m}E[e^{tX}]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[\frac{d^m}{dt^m} e^{tX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= \left.E\left[ X^m e^{tX}\right]\right|_{t=0} \\[0.7em]
&= E\left[ X^m \right]
\end{align}

微分演算と期待値をボーッとして交換するのは好ましくありませんが,このような定理の証明以外の場面ではそこまで神経質になる必要はないと思います。

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