【これなら分かる!】独立の性質の証明

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

内容は統計検定1級に準拠しています。もし不適切な内容や誤植があれば,記事下のコメント欄もしくはお問い合わせフォームよりご連絡いただけますと幸いです。

目次

独立の性質

事象$A$と事象Bが独立ならば,以下が成立する。

  1. 事象$A$と事象$B^c$は独立
  2. 事象$A^c$と事象$B^c$は独立

証明

2つの命題それぞれについて証明していきます。独立の定義に帰着させるという方針で一貫しています。

1. の証明

\begin{align}
P(A \cap B^c) &= P(A) – P(A \cap B)\\
&= P(A) – P(A)P(B)\\
&= P(A) { 1 – P(B) }\\
&= P(A)P(B^c)
\end{align}

2. の証明

\begin{align}
P(A^c \cap B^c) &= 1 – P(A \cup B)\\
&= 1 – { P(A) + P(B) – P(A \cap B) }\\
&= 1 – { P(A) + P(B) – P(A)P(B) }\\
&= {1 – P(A)} {1 – P(B)}\\
&= P(A^c)P(B^c)
\end{align}

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