【これなら分かる!】条件付き確率の性質の証明

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

内容は統計検定1級に準拠しています。もし不適切な内容や誤植があれば,記事下のコメント欄もしくはお問い合わせフォームよりご連絡いただけますと幸いです。

目次

条件付き確率の性質

$P(A)>0$であるとき,条件付き確率$P(\cdot|A)$について以下が成り立つ。

  1. $P(\cdot|A)$は確率の定義を満たす
  2. $P(B|A)=P(B)$ならば$A$と$B$は独立であり,まだ逆も成り立つ

証明

2つの命題それぞれについて証明していきます。

1. の証明

まず,

\begin{align}
P(\phi|A) &= \frac{P(\phi \cap A)}{P(A)}\\
&= \frac{P(\phi)}{P(A)}\\
&= \frac{0}{P(A)}\\
&= 0
\end{align}

より,確率の定義No.1を満たします。次に,

\begin{align}
P(\Omega|A) &= \frac{P(\Omega \cap A)}{P(A)}\\
&= \frac{P(A)}{P(A)}\\
&= 1
\end{align}

より,確率の定義No.2を満たします。最後に,排反な事象BとCに対して条件付き確率$P(B \cup C|A)$がを満たすことを示します。

\begin{align}
P(B \cup C|A) &= \frac{P{A \cap (B \cup C)}}{P(A)}\\
&= \frac{P{(A \cap B) + (A \cap C)}}{P(A)}\\
&= \frac{P(A \cap B)}{P(A)} + \frac{P(A \cap C)}{P(A)}\\
&= P(B|A) + P(C|A)
\end{align}

これを数学的帰納法により複数の事象に拡張すれば,確率の定義No.3を満たします。ゆえに,条件付き確率は確率の定義を満たします。

2. の証明

与えられた条件

\begin{align}
P(B|A) &= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\\
&= P(B)
\end{align}

が成り立つとき,両辺に$P(A)$をかけると

\begin{align}
P(A \cap B) &= P(A)P(B)
\end{align}

となるため,AとBは独立です。逆に,AとBが独立であるとき

\begin{align}
P(A \cap B) &= P(A)P(B)
\end{align}

となるため,両辺を$P(A)$で割ることにより

\begin{align}
\frac{P(A \cap B)}{P(A)} &= P(B)
\end{align}

が成り立ちます。

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