【これなら分かる!】正規近似の証明

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

内容は統計検定1級に準拠しています。もし不適切な内容や誤植があれば,記事下のコメント欄もしくはお問い合わせフォームよりご連絡いただけますと幸いです。

目次

正規近似

$X_i(i=1\cdots n)$が期待値$p$,分散$p(1-p)$となるような分布に独立に従うとする。$Z=X_1 + X_2 + \cdots + X_n$に対して$n$が十分大きいとき

\begin{align}
P(Z \leq x) \approx \Phi \left( \frac{x – np}{\sqrt{np(1-p)}} \right) \quad (x \in \bbR) \label{formula:normal_approximation}
\end{align}

証明

証明はシンプルです。なぜなら,中心極限定理をそのまま適用すればOKだからです。実際に,正規近似の式(\ref{formula:normal_approximation})は,$Z$の期待値が$p$,分散が$p(1-p)$であることを考慮すれば(「確率変数の性質」を参照してください),中心極限定理そのものであることが分かります。

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