【これなら分かる!】変数変換の証明

zuka

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zuka(@beginaid)です。

本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

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目次

変数変換

離散型確率変数$X$,$Y$に対して,2次元の実数値関数$(U, V)= g(X, Y)$を考える。$g$の逆関数$h$が存在して$(X, Y)= h(U, V)$が成り立つとき,$U$と$V$の同時確率質量関数は

\begin{align}
f_{U V}(u, v) &= f_{X Y}{ h(u, v) }
\end{align}

で与えられる。$X$,$Y$が連続型確率変数であるときは,ヤコビアン

\begin{align}
J(u, v) &= \frac{\partial (h_1(u,v), h_2(u,v))}{\partial(u,v)}\notag \\
&= \left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial h_1(u,v)}{\partial u} & \frac{\partial h_1(u,v)}{\partial v} \\
\frac{\partial h_2(u,v)}{\partial u} & \frac{\partial h_2(u,v)}{\partial v} \\
\end{array}
\right|
\end{align}

を用いて,$U$と$V$の同時確率密度関数は

\begin{align}
f_{U, V}(u,v) &= f_{X, Y}h(u, v) \cdot | J(u,v) |
\end{align}

で与えられる。ただし,ヤコビアンは各点$(u,v)$で0にならないものとする。

証明

$X$,$Y$が離散型確率変数である場合は,

\begin{align}
f_{U V}(u, v) &= P\{ (U, V)=(u,v) \}\\[0.7em]
&= P\{ g(X, Y)=(u,v) \}\\[0.7em]
&= P\{ (X, Y)= h(u,v) \}\\[0.7em]
&= f_{X Y}\{ h(u, v) \}
\end{align}

として示すことができる。$X$,$Y$が連続型確率変数である場合は,累積分布関数を微分することで確率密度関数を導出する。任意の$(u,v)\in {\bbR}^2$に対して,$A=(-\infty, u] \times (-\infty, v]$とすると

\begin{align}
F_{U V}(u, v) &= P(U \leq u, V \leq v)\\[0.7em]
&= P\{(U, V) \in A \} \\[0.7em]
&= P\{(X, Y) \in h(A) \} \\[0.7em]
&= \int \int_{h(A)} f_{X Y}(x, y)dxdy \\[0.7em]
&= \int \int_{A} f_{X Y}{h_1(u,v), h_2(u,v) } |J(u,v)|dudv \\[0.7em]
&= \int_{-\infty}^{u}\int_{-\infty}^{v} f_{X Y}{ h(u,v) }|J(u,v)|dudv \\[0.7em]
\end{align}

したがって,両辺を$u$と$v$で偏微分すると

\begin{align}
\frac{\partial^2 F_{U V}(u, v)}{\partial u \partial v} &= f_{U V}(u, v)\\[0.7em]
&= f_{X Y}{ h(u,v) }|J(u,v)|
\end{align}

となります。

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