【これなら分かる!】ベイズの定理の証明

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は「これなら分かる!はじめての数理統計学」シリーズに含まれます。

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目次

ベイズの定理

$A_1, A_2, \ldots, A_n$が$\cup_{i=1}^n A_i = \Omega$を満たす排反な事象ならば,任意の事象$B$に対して次が成立する。

\begin{align}
P(A_i|B) &= \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)}
\end{align}

証明

条件付き確率の定義式を代入していきます。また,「$A_1, A_2, \ldots, A_n$が$\cup_{i=1}^n A_i = \Omega$を満たす排反な事象」であるという条件を利用して,確率の和を和集合の確率に変形します。また,全ての$A_i$に関する和集合は全事象になることも利用しています。

\begin{align}
\frac{P(A_i \cup B)}{\sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)} &=
\frac{P(A_i \cup B)}{\sum_{i=1}^n P(A_i \cup B)}\\
&= \frac{P(A_i \cup B)}{P{ \cup_{i=1}^n (A_i \cup B) }}\\
&= \frac{P(A_i \cup B)}{P(\Omega \cap B)}\\
&= \frac{P(A_i \cup B)}{P(B)}\\
&= P(A_i|B)
\end{align}

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