【過去問解答】統計検定1級2012年問1

zuka

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問題

統計検定1級の過去問からの出題になります。統計検定の問題の著作権は日本統計学会に帰属していますので,本書にて記載することはできません。「演習問題を俯瞰する」で詳しく紹介している公式の過去問題集をご購入いただきますようお願い致します。

解答

小問1

これは俗に言う「逆関数法」というやつです。乱数の生成方法の一つなのですが,少しややこしいですよね。知っていなければ解けないような問題だと思います。

まず,累積分布関数が「連続かつ狭義単調増加関数」ならば「逆関数が存在する」が成り立ちます。言われてみればそうですよね。連続かつ狭義単調増加の累積分布関数は全単射ですので,逆関数が存在します。また,累積分布関数$F(z)$の値域が$(0,1)$ですので,その逆関数$F^{-1}(z)$の定義域は$(0,1)$になります。問題文上の「区間(0,1)上の」は逆関数の定義域だったのです。

さて,実際に解答に入っていきます。方針としては,$U$の累積分布関数$G_U(u)$が$0<u<1$に対して$u$となることをいえば,$U$は区間$(0,1)$で一様分布に従うことが示せます。

\begin{alignat}{2}
G_U(u) &= P\left(U \leq u\right) \\[0.7em]
&= P\left(F(Z) \leq u\right) \\[0.7em]
&= P\left(Z \leq F^{-1}(u)\right) &\quad &(\because F\text{の逆関数は存在する}) \\[0.7em]
&= F\left( F^{-1}(u) \right) &\quad &(\because \text{累積分布関数の定義}) \\[0.7em]
&= u
\end{alignat}

このときの変換$U=F(Z)$を確率積分変換と呼びます。

小問2

この問題は「一様分布と種々の確率計算」とほぼ同じです。累積分布関数を挟む必要がないため,今回は直接累積密度関数を求めましょう。

まず,$g_1(x)$について考えます。一つの変数が$x$という値を取り,その他の変数が$x$以上の値を取れば,$x$という値をとった変数が$X_1$となるため,その確率が$g_1(x)$となります。$x$という値を取る変数の選び方は$3$通りですので,結局以下のようになります。

\begin{align}
g_1(x) &= 3(1-x)^2
\end{align}

同様に,ある変数が$x$という値を取り,その他の変数のうち,一方の変数は$x$以下,もう一方の変数は$x$以上を取れば,$x$という値を取った変数が$X_2$になるため,そのときの確率が$g_2(x)$です。変数の選び方は$6$通りであることに注意してください。

\begin{align}
g_2(x) &= 6x(1-x)
\end{align}

最後に,ある変数が$x$という値を取り,その他の変数は$x$以下を取れば,$x$という値をとった変数が$X_3$となるため,その確率が$g_3(x)$となります。$x$という値を取る変数の選び方は$3$通りですので,結局以下のようになります。

\begin{align}
g_1(x) &= 3x^2
\end{align}

ちなみに,以下のようにして累積分布関数を経由しても求められます。$G_1(x)$と$G_3(x)$は問1.1と全く同じ考え方で導出できます。$G_2(x)$の第一項目は$U_1,U_2,U_3$の全てが$x$以下である場合,第二項目は$U_1,U_2,U_3$のうちいずれか一つが$x$以上,その他が$x$以下であるような場合を考えています。

\begin{align}
G_1(x) &= 1 – (1-x)^3 \\[0.7em]
G_2(x) &= x^3 + 3x^2(1-x) \\[0.7em]
G_3(x) &= x^3
\end{align}

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