【問題集解答】統計検定1級公式テキスト問1.2

zuka

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問題

統計検定1級の公式テキストからの出題になります。統計検定の問題の著作権は日本統計学会に帰属していますので,本書にて記載することはできません。「演習問題を俯瞰する」で詳しく説明している公式の過去問題集をご購入いただきますようお願いしております。

解答

小問1

一変数に関する変数変換の問題です。変数変換を一変数バージョンに書き換えてみましょう。$f_X(x)$を$U=g(X)$によって$f_U(u)$に変換することを考えます。確率変数が離散の場合は,ヤコビアンを考えずに以下のようにします。

\begin{align}
f_U(u) &= f_X\left(h(u)\right)
\end{align}

ただし,$h(u)$は$g(x)$の逆関数です。確率変数が連続の場合は,ヤコビアンを考えて以下のようにします。ただし,一変数ですので,ヤコビアンは単に導関数の絶対値になります。

\begin{align}
f_U(u) &= f_X\left(h(u)\right) |J(u)|\\[0.7em]
&= f_X\left(h(u)\right) \left|\frac{dh(u)}{du}\right|
\end{align}

さて,こちらの式に当てはめて今回の問題を考えていきましょう。今回は$Y=1/X$ですので,$g(x)=1/x$となります。このとき,$g$の逆関数は$h(y)=1/y$となります。また,$dh(y)/dy=-1/y^2$となります。以上を踏まえれば,

\begin{align}
f_Y(y) &= f_X\left(h(y)\right) \left|\frac{dh(y)}{dy}\right|\\[0.7em]
&= \frac{1}{\pi \left(1+\left(1/y\right)^2 \right)} \left| -\frac{1}{y^2} \right|\\[0.7em]
&= \frac{1}{\pi (1+y^2)}
\end{align}

となります。

小問2

今度は二変数の変数変換の問題です。まずは,$X$と$Y$は標準正規分布に従いますので,同時確率密度関数は以下のようになります。

\begin{align}
f_{XY}(x,y) &= \frac{1}{2\pi}\exp \left\{ -\frac{1}{2}(x^2 + y^2)\right\}
\end{align}

今回の問題のポイントは,片方の変数を$U=X$などとして二組の式を考えて,一対一関数を作ることです。具体的には,以下のような変数変換を考えます。

\begin{align}
U &= X \\[0.7em]
V &= \frac{Y}{X}
\end{align}

こいつを変数変換に当てはめていきます。まず,$U=\cdots$と$V=\cdots$を$X=\cdots$と$Y=\cdots$に変えましょう。こうすることで,$g$の逆関数$h$が求められます。

\begin{align}
X
&= U \\[0.7em]
&= h_1(u, v)\\[0.7em]
Y
&= UV \\[0.7em]
&= h_2(u, v)
\end{align}

すると,ヤコビアンも求められます。

\begin{align}
J(u, v) &= \left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial h_1(u,v)}{\partial u} & \frac{\partial h_1(u,v)}{\partial v} \\
\frac{\partial h_2(u,v)}{\partial u} & \frac{\partial h_2(u,v)}{\partial v} \\
\end{array}
\right| \\[0.7em]
&= \left|
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
v & u \\
\end{array}
\right| \\[0.7em]
&= u
\end{align}

したがって,$U$と$V$の同時確率密度関数は

\begin{align}
f_{UV}(u, v) &= \frac{1}{2\pi}\exp \left\{ -\frac{1}{2}(u^2 + u^2v^2)\right\} |u|
\end{align}

となります。求めたいのは$V$の周辺確率密度関数ですので,$U$について積分してあげて周辺化します。$f_{XY}(x,y)$が$y$軸対象であることに注意して絶対値を外してあげましょう。

\begin{align}
f_{V}(v) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{UV}(u, v) du \\[0.7em]
&= 2\int_{0}^{\infty} f_{UV}(u, v) du \\[0.7em]
&= \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\pi}\exp \left\{ -\frac{1}{2}(u^2 + u^2v^2)\right\} |u| du \\[0.7em]
&= \frac{1}{\pi}\left[ -\frac{1}{v^2 + 1} \exp\left\{ -\frac{v^2 + 1}{2}u^2 \right\} \right]^{\infty}_{0} \\[0.7em]
&= \frac{1}{\pi(v^2 + 1)}
\end{align}

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